大连罗斯福品牌分布图:抽象函数的题目

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陈磊

在函数部分的综合题中我们常常遇见一类抽象函数问题。这类问题由于条件中没有给出具体的函数解析式，而只给出该函数所具备的某些性质，所以大家求解此类问题时往往感到很棘手。事实上，这类问题一般都是以基本初等函数作为模型，只要我们认真分析，善于联想，挖掘出作为模型的函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，必能为我们的解题提供思路和方法。下面略举数例加以说明。

一、以正比例函数为模型

例1. 已知是定义在R上的函数，对任意的都有，且当时，。问当时，函数是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。

分析：我们知道，正比例函数满足。根据题设，我们可推知本题是以函数作为模型设计的问题。于是，我们可以判定函数的奇偶性、单调性入手来求解。

解：令，则，解得

又因为

所以

即函数为奇函数。

设，则

依题意，有

所以，

即函数在R上是减函数。

因此，函数当时有最大值，且

二. 以一次函数为模型

例2. 定义在R上的函数满足，且时，。

（1）设，求数列的前n项和；

（2）判断的单调性，并证明。

分析：对于一次函数有成立。分析本题条件可知该题是以函数为模型命制的。

解：（1）

令，则

所以，

故数列是首项为，公差为的等差数列。

因此，

（2）设，且，则

所以

于是

又

所以，而函数在R上是减函数。

三. 以指数函数为模型

例3. 设函数定义在R上，对于任意实数m、n，恒有，且当时，。

（1）求证：，且当时，；

（2）求证：在R上单调递减；

（3）设集合，

，若，求a的取值范围。

分析：我们知道，指数函数满足：

①；

②。

分析本题条件和结论，可推知本题是以函数为模型命制的。

解：（1）令，得

又当时，，所以

设，则

令，则

所以

又，所以

（2）设，且，则

所以

从而

又由已知条件及（1）的结论知恒成立

所以

所以

所以，故在R上是单调递减的。

（3）由得：

因为在R上单调递减

所以，即A表示圆的内部

由得：

所以B表示直线

所以，所以直线与圆相切或相离，即

解得：

四. 以对数函数为模型

设函数定义域为，且对任意的实数x、y，有，已知，且当时。

（1）求证：；

（2）试判断在上的单调性，并证明。

分析：我们知道，对数函数满足：

①；

②。

分析本题条件，可判定该题是以函数为模型命题的。

证明：（1）令，则

解得：

令，则

解得：

（2）设，则，于是

因为

所以

所以，即函数在上是增函数。

五. 以三角函数为模型

例5. 定义在R上的函数对任意实数a、b都有成立，且。

（1）求的值；

（2）试判断的奇偶性；

（3）若存在常数使，试问是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由。

分析：由三角函数的和差公式可知，观察题设条件，我们可判断本题是以余弦函数为模型设计的问题。

解：（1）令

则

所以

又因为，所以

（2）令，则

由可得

所以是R上的偶函数。

（3）令，则

因为

所以

所以

所以

所以是以2c为周期的周期函数。

例6. 已知函数的定义域关于原点对称，且满足：

（1）

（2）存在正常数a，使

求证：（1）是奇函数；

（2）是周期函数，并且有一个周期为。

分析：根据三角函数公式可判断本题应是以余弦函数为模型命制的。

证明：（1）设，则

所以函数是奇函数。

（2）令，则

即

解得：

所以

所以

因此，函数是周期函数，并且有一个周期为4a。

/jspd/jtjw/200311/77.html