微信请帖怎么写邀请函:抽象函数的题目

函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。

例：设y=蕊(x)是定义在区间〔-1，1〕上的函数，且满足条件：

(i)f(-1)＝f(1)＝0；

(ii)对任意的u,v∈〔-1，1〕，都有—f(u)-f(v)—≤—u-v—。

(Ⅰ)证明：对任意的x∈〔-1，1〕，都有x-1≤f(x)≤1-x；

(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈〔-1，1〕，都有—f(u)-f(v)—≤1。

解题：

(Ⅰ)证明：由题设条件可知，当x∈〔-1，1〕时，有f(x)=f(x)-f(1)≤—x-1—=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.

(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈〔-1，1〕，当—u-v—≤1时，有—f(u)-f(v)—≤1

当—u-v—>1，u·v<0,不妨设u<0，则v>0且v-u>1,其中v∈(0，1〕，u∈〔-1，0)

要想使已知条件起到作用，须在〔-1，0)上取一点，使之与u配合以利用已知条件，结合f(-1)＝f(1)＝0知，这个点可选-1。同理，须在(0，1〕上取点1，使之与v配合以利用已知条件。所以，—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-(v-u)<1

综上可知，对任意的u,v∈〔-1，1〕都有—f(u)-f(v)—≤1.

点评：有关抽象函数问题中往往会给出函数所满足的等式或不等式，因此在解决有关问题时，首先应对所要证明或求解的式子作结构上的变化，使所要证明或求解的问题的结构与已知的相同。如本题未给出函数y=f(x)的解析表达式，而给出了一组特定的对应关系f(-1)=f(1)=0，以及两个变量之差的绝对值不小于对应的函数值之差的绝对值的一般关系。在(1)的证明中，利用f(1)=0,把f(x)改写成—f(x)—＝—f(x)-f(1)—；在(2)的证明中，利用f(-1)＝f(1)＝0，把—f(u)-f(v)—改写成—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—，这些变形起了重要的作用，因为是这些变化创造了使用条件的机会，也创造了解决问题的捷径。

另外，有关抽象函数问题中所给的函数性质往往是对定义域内的一切实数都成立的，因此根据题意，将一般问题特殊化，选取适当的特值(如令x=1，y＝0等)，这是解决有关抽象函数问题的非常重要的策略之一。

总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难奏效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，同时在运用这些策略时要做到密切配合，相得益彰。

函数的这三个常用性质在中学数学的学习和教学中会时常遇到，虽然课本只对函数的奇偶性和周期性给了明确的定义，对函数的对称性未下定义，但同学们都能理解这个概念。在高中数学的学习和教学中三个性质独立出现的题目屡见不鲜，且同学们掌握的也较好；但三个性质综合在一起而出现的一类综合性的抽象函数题目（如2001年夏季数学高考题最后一题）也在高考中多次出现。现本人就函数的这三个性质之间的内在联系略作小结，仅供参考，有不准确之处还请多加指教。
定义1：如果对于函数定义域内任意一个x都有 ，那么函数f(x)就叫偶函数；若 ，那么此函数f(x)就叫奇函数。
定义2：如果对于函数f(x)，存在一个不为零的常数下，使得当x取定义域内每一个值时，f(x+T)=f(x)均成立，那么，函数f(x)叫做周期函数。
性质1：对于函数f(x)，
若f(x)满足f(x+a)=f(a-x)、则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
证明：设( )是y=f(x)的图象上任一点，则此点关于直线x=a的对称点为( )，以下只需证明 在函数y=f(x)的图象上即可：

即点 上的一点，证毕。
性质2：对于函数f(x)、
若f(x+a)=f(x-a)，则函数f(x)是周期函数，且T=2a，（2a是函数f(x)的周期）
证明：
2a是函数的周期
某函数若具备以上三个性质（对称性、奇偶性、周期性）中的2个，则可以推此函数必具备另一性质。
1. 对于函数f(x)，
，即此函数是偶函数。
证明：

证毕
2. 对于函数f(x)， ，则f(x+a)=f(x-a)，即f(x)是周期函数。
证明：

2a是函数f(x)的周期，f(x)是周期函数。
3. 对于函数f(x)， 。
若f(x+a)=f(x-a)，f(x)=f(-x)
则f(x)的图象关于x=a对称。即f(x+a)=f(a-x)
证明：

f(x)的图象关于x=a对称。

例1. 已知函数f(x)是实数集R上的偶函数，且此函数的图象关于直线x=2对称，当 时， 时，f(x)的解析式。
解： 此函数满足f(x)=f(-x)，()，且此函数的图象关于直线对称
此函数f(x)必是周期函数

例2：（2001年夏季高考是第22题）
设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意 ，都有 。
（I）求 ；
（II）证明f(x)是周期函数；
（III）记
分析：本题的第I问充分利用已知便可求得，第II问便是已知函数是偶函数，又具有对称性，便可推知是周期函数，只不过把前面结论中的证明再模仿写一遍；第III问当然是利用第II问去求解。
解：（I）因为对

（II）证明：依题设 的图象关于直线x=1对称

（III）解：由（I）知

以上所述是偶函数与它的对称性和周期性之间的关系，奇函数与其对称性和周期性也有类似的关系，老师和同学们可以自己去推证。
评语：（1）若 ，则f(x)为周期函数。
（2）若 （且n、m为常数），则f(x)的图象关于直线 对称。参考资料：http://www.chinaedu.com/101school/jxll/jxll0324_3.htm