南京旅游职业学院校服:求抽象函数的性质

一、f（xy）=f（x）+f（y）
1、定义域与值域
定义域：x∈R， y∈R 值域：f（xy）∈R
2、对称性
f（xy）关于关于y轴对称
3、周期性
f（xy）无周期
4、奇偶性
f（1）=f（1）+ f（-1）+f（-1）=0，f（1）=f（-1）=0
f（x）-f（-x）=f（x）-f（-1）-f（x）=0，f（x）= f（-x）
f（x）是偶函数
5、最值
当f（x）≥0时，有fmin（x）=f（1）=f（-1）=0
当f（x）≤0时，有fmax（x）=f（1）=f（-1）=0
6、反函数
f(x)无反函数

二、f（x）=∣x+a∣
1、定义域与值域
定义域：x∈R，值域：f（x）≥0
2、对称性
以x=-a对称
3、周期性
f（x）无周期
4、奇偶性
f(x)+f(-x)= ∣x+a∣+∣-x+a∣≠0
f(x)-f(-x)= ∣x+a∣-∣-x+a∣≠0
f（x）非奇非偶
5、单调性
x1<x2, x2-x1
f(x2)-f(x1)= ∣x1+a∣-∣x2+a∣
当x2≤-a时, f(x2)-f(x1)= -a-x1+x2+a= x2-x1>0,f(x)单调递增
当x1<-a<x2时, f(x2)-f(x1)= -a-x1-a-x2=-( x1+a)-(x2+a)
当x1≤-x2时, -( x1+a) ≤x2+a, f(x2)-f(x1) <0 ,f(x)单调递减
当x1≥-x2时, -( x1+a) ≥x2+a, f(x2)-f(x1) >0 ,f(x)单调递增
当-a≤x1时, f(x2)-f(x1)= x1+a-a-x2= x1- x2>0 ,f(x)单调递增
6、最值
当x=-a时,有fmin（x）=0
7、反函数
f(x)无反函数
三、f(x)= ∣x+a∣+∣x+b∣
1、定义域与值域
定义域：x∈R，值域：f（x）≥0
2、对称性
以x=-a，x=-b对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f(x)+f(-x)= ∣x+a∣+∣x+b∣+∣-x+a∣+∣-x+b∣≠0
f(x)-f(-x)= ∣x+a∣+∣x+b∣-∣-x+a∣-∣-x+b∣≠0
f(x)非奇非偶
5、最值
当a=b时, fmin（x）=f(-a)=f(-b)=0
当a≠b时, f(-a)= ∣-a+b∣
f(-b)= ∣-b+a∣
当∣-a+b∣>∣-b+a∣时, fmin（x）= ∣-b+a∣
当∣-b+a∣>∣-a+b∣时, fmin（x）= ∣-a+b∣
6、反函数
f(x)无反函数

四、f(xy)=f(x)*f(y)
1、定义域与值域
定义域：x∈R，y∈R值域：f（xy）∈R
2、对称性
f（xy）不对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f(x)=f(x)*f(1),f(1)=1
f(x)=f(x)*f(0),f(0)=0
f(1)=f(-1)*f(-1)=1,f(-1)=-1
f(x)+f(-x)= f(x)*f(1)+f(x)* f(-1)
= f(x)- f(x)=0
f（x）是奇函数
5、最值
f(x)无最值

五、f（x+y）=f（x）+f（y）
1、定义域与值域
定义域：x∈R， y∈R 值域：f（xy）∈R
2、对称性
f（x）关于原点对称
3、周期性
f（x）无周期
4、奇偶性
f（0）=f（0）+ f（0），f（0）=0
f（0）= f（1）+ f（-1）=0， f（1）=- f（-1）
f（x）+f（-x）=x*f（1）+x*f（-1）
= x*f（1）- x*f（1）=0
-f（x）= f（-x），f（x）是奇函数
6、最值
f(x)无最值

六、f（x+y）=f（x）*f（y）
1、定义域与值域
定义域：x∈R， y∈R 值域：f（xy）∈R
2、对称性
f（x）不对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f（0）=f（0）* f（0）= f（1） *f（-1）=1
f（1）=
f（x）+f（-x）=f（1）* f（x）+f（-1）* f（x）≠0
f（x）-f（-x）=f（1）* f（x）-f（-1）* f（x）≠0
f（x）非奇非偶
5、最值
f(x)无最值

七、f（x-y）=f（x）-f（y）
1、定义域与值域
定义域：x∈R， y∈R 值域：f（xy）∈R
2、对称性
f（x）关于原点对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f（x）+f（-x）=f（x）-f（0）+ f（0）- f（x）=0
-f（x）= f（-x），f（x）是奇函数
5、单调性
6、最值

八、f（ ）=f（x）-f（y）
1、定义域与值域
定义域：x∈R， y∈R 值域：f（xy）∈R
2、对称性
f（x）关于原点对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f（1）= f（1）- f（1）=-f（-1）=0
f（-1）= f（1）-f（-1）=-f（-1），f（-1）=0
f（x）-f（-x）=f（x）-f（1）-f（x）+f（-1）=0
-f（x）= f（-x），f（x）是奇函数
5、最值
f(x)无最值

九、f（x）=x+ （a∈R+）
1、定义域与值域
定义域：x≠0 值域： f（x）∈ U
2、对称性
f（x）关于原点对称
3、周期性
f（x）无周期
4、奇偶性
f（x）+ f（-x）= x+ -x+ =0
-f（x）= f（-x），f（x）是奇函数
5、单调性
x1<x2
f（x2）-f（x1）= x2+ -x1-
= x2-x1+
=（x2-x1）（1- ）
当x∈ 时，f（x2）-f（x1）>0，f（x）单调递增
当x∈ 时，f（x2）-f（x1）>0，f（x）单调递增
当x∈ 时，f（x2）-f（x1）>0，f（x）单调递减
当x∈ 时，f（x2）-f（x1）>0，f（x）单调递减
6、最值
f(x)无最值
7、反函数
y= f(x)= x+
x2-yx+a=0
x=
f-1（x）= ，x∈
f-1（x）= ，x∈