安吉丽娜.茱莉的电影:如何证明x+y+z>=3*[(xyz)的立方根]>=9*1/(1/x+1/y+1/z）

来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/04/29 20:15:56
我想了很久也没想通，望在大家的帮助下能解决，很急，谢谢！！

所证式子的前半部分可由a^3+b^3+c^3>=3abc得到(将a,b,c分别换成三次根号a,b,c即可),以下用高中方法证明a^3+b^3+c^3>=3abc:
先证a^3+b^3>=ba^2+ab^2:
(a^3+b^3)-(ba^2+ab^2)=(a^3-ba^2)-(ab^2-b^3)
=(a-b)a^2-(a-b)b^2=(a^2-b^2)(a-b)=(a+b)(a-b)^2
因为a>0,b>0,易知上式大于等于零,故a^3+b^3>=ba^2+ab^2成立.
同理可得b^3+c^3>=bc^2+cb^2,a^3+c^3>=ca^2+ac^2,三式相加得
2(a^3+b^3+c^3)>=(ba^2+bc^2)+(ab^2+ac^2)+(cb^2+ca^2)
=b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)
>=b*2ac+a*2bc+c*2ab=6abc
所以a^3+b^3+c^3>=3abc(当且仅当a=b=c时取等号)
后半部分证明则利用前半部分的结论:
易知yz+xz+xy>=3*[(xyz)^2的立方根],则
3*[(xyz)^2的立方根]/(yz+xz+xy)<=1,等式两边同乘以(xyz)的立方根,得
3xyz/(yz+xz+xy)<=(xyz)的立方根
不等式左边上下同除以xyz,得
3*1/(1/x+1/y+1/z)<=(xyz)的立方根
即[(xyz)的立方根]>=3*1/(1/x+1/y+1/z）
所以后半部分得证.

如何证明x+y+z>=3*[(xyz)的立方根]>=9*1/(1/x+1/y+1/z） 已知x,y,z满足x+y=5,z^2=xy+y-9 求x+2y+3z的值 解方程组:(X+Y+Z=24 X/Y=Z XY+Z=68) 已知x,y,z为正实数,y*y=x*z,求证:x*x+y*y+z*z>(x-y+z)*(x-y+z) 以知自然数x,y,z.满足x^2+xy-z=0,且y,z为质数,求x^y+y^z+z^x的值. 设x、y、z均为非零实数，且xy=2（x+y），yz=3（y+z），zx=4（x+z），试求xy/z的值 已知:x+y=6,z*=xy-q,求 x+y-2z 已知x+y+z不等于0， x[(1/y)+(1/z)]+y[(1/z)+(1/x)]+z[(1/x)+(1/y)]+3=0 求证：xy+yz+zx=0 已知3x－y+2z=x+2y+3z=0,求（3x^－xy+2y^)/(2x^+4xy+y^)值？ 已知xy/(x+y)=1,yz/(y+z)=2,zx/(z+x)=3,求x的值