卧蚕怎么弄出来小窍门:高分求助 数列题目

a(n+2)=3a(n+1)-3a(n)+a(n-1),n=2,3,4,…
a(n+2)-a(n+1)=2a(n+1)-2a(n)-a(n)+a(n-1)
a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-a(n)]-[a(n)-a(n-1)]
[a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+1)-a(n)]=[a(n+1)-a(n)]-[a(n)-a(n-1)]
所以数列{a(n)-a(n-1)}为等差数列

a(1)=1
[a(3)-a(2)]-[a(2)-a(1)]=2
所以等差为2

a(5)-a(4)=9
则a(4)-a(3)=7
a(3)-a(2)=5
a(2)-a(1)=3
a(1)=1

所以a(n)-a(n-1)=2n－1
所以a(n)=1+3+5+7+…+(2n-1)
所以a(n)=n^2

最后Sn=1/6n(n+1)(2n+1)

解：设bn=an+1-an,Cn=bn+1-bn
Cn=bn+1-bn= (an+2-an+1)-( an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1) -2an+1+an=an+1-2an+an-1
=Cn-1 (n=2,3,4,…)
所以{ Cn}是常数列
由条件(2)得C1=2,则{an}是二阶等差数列
因此an=a1+nk-1bk=a1+(n-1)b1+(n-1)(n-2)/2*2=1+(n-1)b1+(n-1)(n-2)
由条件(3)知b4=9，从而b1=3，于是an=n2
Sn=1/6n(n+1)(2n+1)

这是一个高阶等差数列题型

a[1]

根据1 写出特征方程x^3-3x^2+3x-1=0 -> 三重根x=1

所以数列通项为an=(p+qn+rn^2)*1^n

其中p q r 为待定系数

带入2 3 得 p = q = 0 r =1

所以an=n^2

关于高阶递推数列的特征方程的知识 你可以在网上搜索一下

由an+2=3an+1-3an+an-1可得特征方程为:
x^3=3x^2-3^x+1
(x-1)^3=0
那么an=(a*n^2+b*n+c)*1^n=a*n^2+b*n+c,其中a、b、c为未知系数
由2a2=a1+a3-2可得：a=1
由a5-a4=9可得：9a+b=9，则b=0
由a1=1得：a+b+c=1，则c=0
所以an=n^2
数列{an}的前n项和Sn=n(n+1)(2n+1)/6

Cn=bn+1-bn= (an+2-an+1)-( an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1) -2an+1+an=an+1-2an+an-1

=Cn-1 (n=2,3,4,…)

所以{ Cn}是常数列

由条件(2)得C1=2,则{an}是二阶等差数列

因此an=a1+

由条件(3)知b4=9，从而b1=3，于是an=n2