魔力红好听的歌:一道奥数

只想到一个比较笨的方法：

这些数除了2003，一共有500个数，可以分成5个一组，
3×7×11×15×19
23×27×31×35×39
.....
一共有100组数，这些数个位数都是3,7,1,5,9，
显然每组乘积的个位数都是5，但是十位数不定。
可以统一表示为：
(20n-17)(20n-13)(20n-9)(20n-5)(20n-1)
=-9945+287780n-2052000n^2+5840000n^3-7200000n^4+3200000n^5
其中n=1,2,...,100
因为我们只要求末三位数，故只保留末三位数非零的数，可得：
(20n-17)(20n-13)(20n-9)(20n-5)(20n-1)≈-945+780n
＝55-1000+(1000-220)n≈55-220n
设f(n)=55-220n，则连着的两组数乘积为：
f(n)*f(n+1)
=-9075+24200n+48400n^2
≈-75+200n+400n^2≈-75+200m（因为400的倍数也是200的倍数）
设g(m)=-75+200m，则对于任意的m,n有：
g(n)*g(m)
=5625-15000m-15000n+40000mn
≈625
而625*625*...*625=.....625≈625，
即末三位数是625的话乘积的末三位数仍然是625，

故3×7×11×15×19×…×2003共有501个数，
除去2003，共有500个，100组，
即有100个f(n)，或50个g(m)，可组成25对，
每一对乘积的末三位数都是625，故25对相乘后末三位数还是625，
故前面500个数的乘积
3×7×11×15×19×…×1999的末三位数是625，
与2003相乘末三位数是875。

这个方法实在不是好方法，不过我感觉应该是要先弄出625来，然后再和2003相乘，但是没有想到更简便的方法，希望各位补充。

已知关于x的方程(3a-b)x=8b-1仅有正整数解，并且和关于x的方程(3b-a)x=8a-1是同解方程。若a≥0,a^2+b^2≠0,请求出这个方程可能的解。

因为方程仅有正整数解，所以(3a-b)≠0 ,(3b-a)≠0
所以x= (8b-1)/(3a-b) = (8a-1)/(3b-a)
去分母得：(a-b)*[6(a+b)-1]=0
所以a=b或a+b=1/6
当a=b时，x= (8a-1)/(2a) = 4 - 1/(2a)
因为a≥0 ，所以x＜4 ，
所以a=b=1/2 时 x=3 、a=b=1/4时 x=2 、a=b=1/6时 x=1
当a+b=1/6 时，若a＝1/24 ，所以b＝ 1/8 ，x ＝0 （舍去）
当x≠1/24时，a = 1/6 -b ,所以x=2(8b-1)/(1-8b)=-2 （舍去）
综上：x的可能值为：3、2、1