手机公司记账软件:设a,b,c是△ABC的三边。求证：(a+b+c)ˇ2＜4（ab+bc+ca）

来源：百度文库编辑：神马品牌网时间：2024/05/03 04:05:52

左式-右式=aˇ+bˇ+cˇ-2bc-2ab-2ac =1/3[(a+b-c)ˇ+(a+c-b)ˇ+(b+c-a)ˇ] a,b,c是△ABC的三边，所以a+b-c,a+c-b,b+c-a不等于0 所以(a+b+c)ˇ＜4（ab+bc+ca）

a,b,c是△ABC的三边，所以有：
a - b < c ...... a^2 + b^2 - c^2 < 2ab
b - c < a ...... b^2 + c^2 - a^2 < 2bc
c - a < b ...... c^2 + a^2 - b^2 < 2ca
三个式子相加得到：
a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)

(a + b + c)^2
= a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
< 4(ab + bc + ca)

(a+b+c)*(a+b+c)=a*a+b*b+c*c+2ab+2bc+2ac<a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)+2ab+2bc+2ac=ab+ac+ab+bc+ac+bc+2ab+2bc+2ac=4(ab+bc+ca)
其中小于号部分应用了两边之和大于第三边。

M=a^2+b^2+c^2-2ab-abc-2ac
=(a-b)^2-c^2+2c^2-2bc-2ac
=(a+c-b)(a-b-c)+2c(c-a-b) (平方和公式)
因为a,b,c为三角形三边
所以a+b-c>0 a-b-c<0 c-a-b<0
所以M<0
a^2+b^2+c^2-2ab-abc-2ac<0
a^2+b^2+c^2+2ab+abc+2ac<4ab+4ac+4bc
(a+b+c)^2<4(a+b+c)

设a,b,c是△ABC的三边,化简|a+b+c|+|a-b-c|+|c+a-b| 设a,b,c是△ABC的三边，求证：a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)-a^3-b^3-c^3>2abc 设a,b,c是△ABC的三边，求证：a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+c^2)-a^3-b^3-c^3>2abc 设a,b,c是△ABC的三边。求证：(a+b+c)ˇ2＜4（ab+bc+ca）已知A,B,C是△ABC的三边,且A*A+B*B+C*C-AB-BC-AC=0,则△ABC是怎样的三角形? 三角形ABC三边abc，求证：a^2/（b+c-a)+b^2/(c+a-b)+c^2/(a+b-c)>=a+b+c 七年级数学的题目设a.b.c是三角形的三边求证 a的平方+b的平方<c的平方+2ab 已知三角形ABC的三边长a,b, c,还有m为整数，求证：a/a+m)+b/(b+m)>c/(c+m) 已知a,b,c为三角形ABC的三边,求证(a^2+B^2-c^2)^2-4a^2b^2<0 a、b、c为三角形ABC的三边，且1/a、1／b、1／c成等差数列。求证B为锐角