神马品牌网战争雷霆卡权重:求数学归纳法证明整除问题方法
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/04/28 16:34:44
以此为例
请用数学归纳法证明(3n+1)•7的n次幂再-1能被九整除
请用数学归纳法证明(3n+1)•7的n次幂再-1能被九整除
这个题用什么办法都证不出来。你代入n=2试试就知道错了，此时((3n+1)•7)^n-1=2400，不被9整除！
我可以用同余理论说明出这个题在n=2k和n=2k+1都对，但n=2k+2是错的：
（以下都取模为9）
1) n=3k时,
7^3k≡((-2)^3)^k≡1
而用二项式展开知(9k+1)^3k≡1
所以
((3n+1)•7)^n≡1
2) n=3k+1时,
7^(3k+1)≡1*7≡7
由二项式又有(9k+4)^(3k+1)≡4^(3k+1)≡(4^3)^k * 4≡4
所以
((3n+1)•7)^n≡7*4≡1
3) n=3k+2时，
7^(3k+2)≡1*49≡4
由二项式定理，(9k+7)^(3k+2)≡7^(3k+2)≡4
所以
((3n+1)•7)^n≡4*4≡7