华南农业大学社会工作:基尼系数是什么？怎么来的？用来做什么？

基尼系数是国际上用来综合考察居民内部收入分配差异状况的一个重要分析指标，由意大利经济学家于1922年提出。其经济含义是：在全部居民收入中，用于进行不平均分配的那部分收入占总收入的百分比。
　　基尼系数最大为“1”，最小等于“0”。前者表示居民之间的收入分配绝对不平均，即100％的收入被一个单位的人全部占有了；而后者则表示居民之间的收入分配绝对平均，即人与人之间收入完全平等，没有任何差异。但这两种情况只是在理论上的绝对化形式，在实际生活中一般不会出现。因此，基尼系数的实际数值只能介于0～1之间。
　　目前，国际上用来分析和反映居民收入分配差距的方法和指标很多。基尼系数由于给出了反映居民之间贫富差异程度的数量界线，可以较客观、直观地反映和监测居民之间的贫富差距，预报、预警和防止居民之间出现贫富两极分化，因此得到世界各国的广泛认同和普遍采用。
　　按照国际惯例，基尼系数在0．2以下，表示居民之间收入分配“高度平均”，0．2～0．3之间表示“相对平均”，在0．3～0．4之间为“比较合理”，同时，国际上通常把0．4作为收入分配贫富差距的“警戒线”，认为0．4～0．6为“差距偏大”，0．6以上为“高度不平均”。

　　20世纪初意大利经济学家基尼，根据洛伦茨曲线找出了判断分配平等程度的指标（如下图），设实际收入分配曲线和收入分配绝对平等曲线之间的面积为A，实际收入分配曲线右下方的面积为B。并以A除以A+B的商表示不平等程度。这个数值被称为基尼系数或称洛伦茨系数。如果A为零，基尼系数为零，表示收入分配完全平等；如果B为零则系数为1，收入分配绝对不平等。该系数可在零和1之间取任何值。收入分配越是趋向平等，洛伦茨曲线的弧度越小，基尼系数也越小，反之，收入分配越是趋向不平等，洛伦茨曲线的弧度越大，那么基尼系数也越大。如果个人所得税能使收入均等化，那么，基尼系数即会变小。联合国有关组织规定：若低于0.2表示收入绝对平均；0.2-0.3表示比较平均；0.3-0.4表示相对合理；0.4-0.5表示收入差距较大；0.6以上表示收入差距悬殊。

　　洛伦茨曲线

　　图中,OY为45度线,在这条线上,每10%的人得到10%的收入,表明收入分配完全平等,称为绝对平等线。OPY表明收入分配极度不平等,全部收入集中在1个人手中,称为绝对不平等线。介于二线之间的实际收入分配曲线就是洛伦茨曲线。它表明:洛伦茨曲线与绝对平等线OY越接近,收入分配越平等,与绝对不平等线OPY越接近,收入分配越不平等.

　　实际应用中的计算公式是：

　　公式中： 是按收入分组后各组的人口数占总人口数的比重； 是按收入分组后，各组人口所拥有的收入占收入总额的比重； 是 从i=1到i的累计数，如, =Y1+Y2+Y3….+Yi。

　　计算基尼系数，可以用收入分组数据计算，也可用分户数据计算。但要注意的是，无论分组还是分户计算，均应先对数据按收入从低到高排序，分组计算时，一般应使分组的组距相等。用分组数据计算的基尼系数要明显小于分户数据的计算值，特别是当分组的组数不多时，差距更大。用分户数据计算基尼系数时，采用的计算指标不同，也会出现不同的结果。一般有两种计算方法，一种方法是按户总收入排序，按户计算基尼系数，此时， 为每户收入占总收入的比例， 为调查户数的倒数；另一种计算方法是按每户家庭的人均收入排序，此时， 为每户人口占全部人口的比例， 为本户人均收入占人均收入之和的比例。这两种计算方法，结果是有差异的，按人均收入计算的基尼系数要大于按户收入计算的基尼数据。在用基尼系数时进行不同地区、不同时期的收入差距比较时，应注意计算方法的一致性，不同计算方法得出的基尼系数是没有可比性的。

　　国际上通常用基尼系数来判定收入分配均等程度。基尼系数是界于0-1之间的数值，当基尼系数为0时，表示绝对平等；基尼系数越大，不均等程度越高；当基尼系数为1时，表示绝对不平等。市场经济国家衡量收入差距的一般标准为：基尼系数在0.2以下表示绝对平均；0.2-0.3之间表示比较平均；0.3-0.4之间表示较为合理；0.4-0.5之间表示差距较大；0.5以上说明收入差距悬殊。例如：依据全国城市住户调查收入分组资料，计算出的基尼系数1978年为0.16，1988年为0.23，2000年为0.32，说明1978年我国城市居民个人收入差距不大，比较平均；1988年以后城市居民个人收入差距已经开始拉开，到2000年城市居民个人收入差距逐步拉大。

　　用基尼系数分析居民收入的差异，是一种比较普遍的方法。其特点：一是方法本身具有科学性，基尼系数的计算是将社会经济现象数学化了的办法，能从整体上反映居民集团内部收入分配的差异程度。二是基尼系数反映收入分配的差异程度精确、灵敏，可以反映差异程度细微的和连续的变化。三是在经济工作中可以作为一个综合经济参数纳入国家的计划管理和宏观调控之中。四是基尼系数在国际上应用广泛，便于在实际工作加强横向联系比较，学习和借鉴外地区和国外的经验。

基尼系数的计算方法及数学推导

摘要：本文归纳了基尼系数的四种计算方法：直接计算法、拟合曲线法、分组计算法和分解法，并进行了数学推导和证明。在此基础上，文章比较了各种算法优缺点，分析了误差可能产生的环节。
关键词：洛伦茨曲线 基尼系数

一、洛伦茨曲线和基尼系数
1905年，统计学家洛伦茨提出了洛伦茨曲线，如图一。将社会总人口按收入由低到高的顺序平均分为10个等级组，每个等级组均占10％的人口，再计算每个组的收入占总收入的比重。然后以人口累计百分比为横轴，以收入累计百分比为纵轴，绘出一条反映居民收入分配差距状况的曲线，即为洛伦茨曲线。

为了用指数来更好的反映社会收入分配的平等状况，1912年，意大利经济学家基尼根据洛伦茨曲线计算出一个反映收入分配平等程度的指标，称为基尼系数（G）。在上图中，基尼系数定义为：
G= SA SA+B 式（1）
当A为0时，基尼系数为0，表示收入分配绝对平等；当B为0时，基尼系数为1，表示收入分配绝对不平等。基尼系数在0～1之间，系数越大，表示越不均等，系数越小，表示越均等。

二、基尼系数的计算方法
式（1）虽然是一个极为简明的数学表达式，但它并不具有实际的可操作性。为了寻求具有可操作性的估算方法，自基尼提出基尼比率以来，许多经济学家和统计学家都进行了这方面的探索。在已有的研究成果中，主要有四种有代表性的估算方法，结合自己的计算，笔者将它们归纳为直接计算法、拟合曲线法、分组计算法和分解法。
1、直接计算法
直接计算法在基尼提出收入不平等的一种度量时，就已经给出了具体算法，而且这种算法并不依赖于洛伦茨曲线，它直接度量收入不平等的程度。定义
△＝ n n ∑∑∣j=1 i=1Yj－Yi∣/n2, 0≤△≤2u 式（2）
式中，△是基尼平均差，∣Yj－Yi∣是任何一对收入样本差的绝对值，n是样本容量，u是收入均值。定义
G=△/2u, 0≤G≤1 式（3）
可以证明：G=△/2u＝2SA（证明过程见附录一），而由式（1）G= SA/ SA+B，SA+B=1/2，G=2SA,因此，式（2）中定义的G即为基尼系数，综合式（2）、（3），基尼系数的计算方法为：
G= 1 2n2 u n n ∑∑∣j=1 i=1Yj－Yi∣ 式（4）
直接计算法只涉及居民收入样本数据的算术运算，很多学者认为理论上看，只要不存在来源于样本数据方面的误差，就不存在产生误差的环节。实际上，在附录一证明过程当中将看到，直接计算法依然采用了以直代曲法计算面积，只不过这个过程在样本数据范围内达到了最小近似，其精确度直接取决于样本数据本身。因此，可以认为它不带任何误差的计算了样本数据的基尼系数值。
2、拟合曲线法
拟合曲线法计算基尼系数的思路是采用数学方法拟合出洛伦茨曲线，得出曲线的函数表达式，然后用积分法求出B的面积，计算基尼系数。通常是通过设定洛伦茨曲线方程，用回归的方法求出参数，再计算积分。例如，设定洛伦茨曲线的函数关系式为幂函数：
I=αPβ 式（5）
根据选定的样本数据，用回归法求出洛伦茨曲线，例如，α＝m,β=n.求积分
SB=∫01 mpndp= m n+1 式（6）
计算
G= SA SA+B = SA+B－SB SA+B ＝1－ 2m n+1 式（7）
拟合曲线法的在两个环节容易产生谬误：一是拟合洛伦茨曲线，得出函数表达式的过程中，可能产生误差；二是拟合出来的函数应该是可积的，否则就无法计算。
3、分组计算法
这种方法的思路有点类似用几何定义计算积分的方法，在X轴上寻找n个分点，将洛伦茨曲线下方的区域分成n部分，每部分用以直代曲的方法计算面积，然后加总求出面积。分点越多，就越准确，当分点达到无穷大时，则为精确计算。

假设分为n组，每组的收入为Yi，则每个部分P的面积为：
SP= 1 ∑i-1Yi＋∑ i Yi 2n n∑Yi 式（8）
加总得到：
G= SA SA+B = SA+B－SB SA+B ＝1－2lim k→∞∑ n 1 ∑i-1Yi＋∑ i Yi 2n n∑Yi 式（9）
这是精确计算基尼系数的表达式，当分点n个数有限时，定义：
yi= Yi n∑Yi 式（10）
得到近似表达式:
G=2SA= 2 n （y1+2y2+•••＋nyn）－（ n+1 n ） 式（11）
（证明过程见附录二）
分组计算法不依赖于洛伦茨曲线的函数形式，但在以直代曲的环节会出现误差，增加分点的个数可以减少这种误差。
4、分解法
上述的计算方法的最终目的都在于求出基尼系数的值，而分解法则是在求出上述值的基础上，力图研究基尼系数的构成因素，除了得出总的基尼系数的信息之外，在计算过程中还能够获得分解部分内部的基尼系数值。另外，分解法求出基尼系数的过程一般都依赖于已有部分的基尼系数的值，从这个意义上说，分解法并不是独立计算基尼系数的方法，它更重要的意义在于对基尼系数的分解，即定义的各个不同基尼系数值之间的相互关系。
伦敦经济学院收入分配方法论专家Cowell教授提出，基尼系数在不同人群组之间无法完全分解于尽。总体基尼系数除了包括各个组内差距之外，还应包括组间差距和相互作用项。公式为：
G = k∑WiGi+Ib+ε（fi） 式（12）
式中，G是总体基尼系数，Gi是第i组内部的基尼系数（i=1,2,…，n），Wi是Gi的权数，Ib是组间的差距指数，ε（fi）是相互作用项。ε（fi）是各个组之间收入分布的重叠程度。特别地，当各个组之间收入分布完全不重叠时，ε（fi）＝0。
式（12）地意义在于形式化地表述了对总体基尼系数进行分解的思路和框架，但由于没有给出Wi、Ib和ε（fi）的具体计算方法，还不能用于基尼系数的计算。
经济学家Sundrum（1990）在他的《欠发达国家的收入分配》一书中介绍了一种对一国或地区基尼系数进行分解的方法，其数学公式为：
G=P12 u1 u G1+ P22 u2 u G2+P1P2｜ u1－u2 u ｜ 式（13）
式中，G表示总体基尼系数，G1和G2分别表示农村和城镇的基尼系数，P1、P2分别表示农村人口和城镇人口占总人口的比重，u1、u2、u分别表示农村、城镇和总体的人均收入。
对比式（12）和式（13），可以发现式（13）是式（12）的一种具体运用，P12 u1 u G1和P22 u2 u G2可以作为以P12 u1 u 和P22 u2 u 为权重的 k∑WiGi，P1P2｜ u1－u2 u ｜则为组间差距指数Ib。值得注意的是式中没有ε（fi）项，意味着ε（fi）＝0成立，因此这种算法隐含的假设条件是农村与城镇的收入分布完全不重叠。此外，采用这种计算方法还必须满足条件：在估算城乡内部的基尼系数时所用的居民收入数据的口径是相同或相近的。
这种方法会在可能在两个环节产生误差：一是用其他方法估计城乡各自的基尼系数G1和G2时，可能产生误差；二是城乡收入分布一般会在不同程度上重叠。

附录一：
证明：G=△/2u＝2SA
第一步，分解 n n ∑∑∣j=1 i=1Yj－Yi∣
设将收入按从低到高排列Y1、Y2、……Yn，则上式可以分解为矩阵A：
Y1 Y2 …… Yn－1 Yn
Y1
Y2

……

Yn－1
Yn 0 Y2－Y1 …… Yn－1－Y1 Yn－Y1
Y2－Y1 0 …… Yn－1－Y2 Yn－Y2

…… …… …… …… ……

Yn－1－Y1 Yn－1－Y2 …… 0 Yn－Yn－1
Yn－Y1 Yn－Y2 …… 0
将矩阵中各项加总得到：
2〔（n－1）Yn＋（n－2）Yn－1＋……＋Y2—（n－1）Y1－（n－2）Y2－……－Yn－1〕
＝2〔（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1〕
第二步，计算 1 2n2u
取样本均值u= Y1＋Y2＋……Yn n = n∑Yi n
1 2n2u ＝ 1 2n n∑Yi
综上，第一步、第二步，得到
G＝ 1 n n∑Yi 〔（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1〕 式（14）
第三步，计算SB

如图四，计算每一部分面积SP
SP＝ 1 2 AB（AC＋BD）＝ 1 ∑i-1Yi＋∑ i Yi 2n n∑Yi
SB＝ n∑ 1 ∑i-1Yi＋∑ i Yi 2n n∑Yi
第四步，计算SA
SA=SA＋B－SB＝ 1 2 － n∑ 1 ∑i-1Yi＋∑ i Yi 2n n∑Yi ＝ 1 2n n n∑Yi－ n∑ ∑i-1Yi＋∑ i Yi n∑Yi
分解n n∑Yi－ n∑ ∑i-1Yi＋∑ i Yi得到矩阵B
n n∑Yi
n∑ ∑i-1Yi＋∑ i Yi
n n∑Yi－ n∑ ∑i-1Yi＋∑ i Yi

Y1＋Y2＋…Yn
Y1＋Y2＋…Yn

…

Y1＋Y2＋…Yn
Y1＋Y2＋…Yn ＋Y1
Y1＋Y1＋Y2
Y1＋Y2＋Y1＋Y2＋Y3

…

Y1＋Y2＋…Yn－2＋Y1＋Y2＋…Yn－1
Y1＋Y2＋…Yn－1＋Y1＋Y2＋…Yn Yn＋Yn－1＋…Y2
Yn＋Yn－1＋…Y3－Y1
Yn＋Yn－1＋…Y4－Y1－Y2

…

Yn－Y1－Y2－…Yn－2
－Y1－Y2－…Yn－1
加总最后一行，得到：
n n∑Yi－ n∑ ∑i-1Yi＋∑ i Yi＝（n－1）Yn＋（n－2）Yn－1＋……＋Y2—（n－1）Y1－（n－2）Y2－……－Yn－1＝（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1
SA= 1 2n n n∑Yi－ n∑ ∑i-1Yi＋∑ i Yi n∑Yi ＝ 1 2n n∑Yi〔（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1〕 式（15）
比较式（14）和式（15）可得G=△/2u＝2SA。

附录二：
证明：当分点个数n有限时，G=2SA= 2 n （y1+2y2+•••＋nyn）－（ n+1 n ）
定义：yi= Yi n∑Yi
SP＝ 1 2 AB（AC＋BD）＝ 1 ∑i-1Yi＋∑ i Yi 2n n∑Yi ＝ 1 2n （ ∑ iYi n∑Yi ＋ ∑i-1Yi n∑Yi ）
SB＝ n∑ 1 ∑i-1Yi＋∑ i Yi 2n n∑Yi
SA=SA＋B－SB＝ 1 2 － n∑ 1 ∑i-1Yi＋∑ i Yi 2n n∑Yi ＝ 1 2n n n∑Yi－（ n∑ ∑i-1Yi＋∑ i Yi） n∑Yi
＝1 2n n n∑Yi－ n∑（2 ∑i Yi－Yi） n∑Yi ＝1 2n n n∑Yi－ n∑（2 ∑i Yi－Yi） n∑Yi
＝1 2n （2n－2 n ∑ i∑yi＋2 n∑yi）－ n+1 2n
分解n－ n ∑ i∑yi得到矩阵C：
n
n ∑ i∑yi
n－ n ∑ i∑yi

y1＋y2＋……yn
y1＋y2＋……yn

……

y1＋y2＋……yn
y1＋y2＋……yn y1
y1＋y2
y1＋y2＋y3

……

y1＋y2＋……yn－1
y1＋y2＋……yn Yn＋Yn－1＋……Y2
Yn＋Yn－1＋……Y3
Yn＋Yn－1＋……Y4

……

Yn
0
加总最后一列，得到
n－ n ∑ i∑yi＝（n-1）yn+（n－2）yn－1＋……y2
SA＝1 2n （2n－2 n ∑ i∑yi＋2 n∑yi）－ n+1 2n
＝1 n （y1+2y2+•••＋nyn）－ n+1 2n
G=2SA= 2 n （y1+2y2+•••＋nyn）－（ n+1 n ）

参考资料：
1、 Sundrum.R.M,1990,Incom Distribution in Less Developed Counties, London and New York:Routledge
2、 Cowell.F.A,2000,Measurement of Inequality, in Handbook of Income Distribution, eds. By A.Atkirrson and F.Bourguignon, Northholland
3、 熊俊：《基尼系数估算方法的比较研究》；《财经问题研究》2003年1月第1期
4、 王文森：《基尼系数及推广应用》；《统计与预测》；2003年1月第1期

基尼系数是国际上用来综合考察居民内部收入分配差异状况的一个重要分析指标，由意大利经济学家于1922年提出。其经济含义是：在全部居民收入中，用于进行不平均分配的那部分收入占总收入的百分比。
基尼系数最大为“1”，最小等于“0”。前者表示居民之间的收入分配绝对不平均，即100％的收入被一个单位的人全部占有了；而后者则表示居民之间的收入分配绝对平均，即人与人之间收入完全平等，没有任何差异。但这两种情况只是在理论上的绝对化形式，在实际生活中一般不会出现。因此，基尼系数的实际数值只能介于0～1之间。
目前，国际上用来分析和反映居民收入分配差距的方法和指标很多。基尼系数由于给出了反映居民之间贫富差异程度的数量界线，可以较客观、直观地反映和监测居民之间的贫富差距，预报、预警和防止居民之间出现贫富两极分化，因此得到世界各国的广泛认同和普遍采用。
按照国际惯例，基尼系数在0．2以下，表示居民之间收入分配“高度平均”，0．2～0．3之间表示“相对平均”，在0．3～0．4之间为“比较合理”，同时，国际上通常把0．4作为收入分配贫富差距的“警戒线”，认为0．4～0．6为“差距偏大”，0．6以上为“高度不平均”。