神马品牌网芭比布娃娃:高一数学题:算术平均值语几何平均数
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/05/05 06:41:33
a,b,x,y∈R，a/x+b/y=1
求证：x+y>=(√a+√b)（√a+√b）．
谢谢！
求证：x+y>=(√a+√b)（√a+√b）．
谢谢！
令a/x=(sint)^2,b/y=(cost)^2,t∈[0,π/2]
不等式左边=x+y
不等式右边=(√a+√b)^2=(sint√x+cost√y)
=x(sint)^2+y(cost)^2+2sintcost√xy
左-右=x+y-x(sint)^2-y(cost)^2-2sintcost√xy
=x(cost)^2+y(sint)^2-2sintcost√xy
=(cost√x-sint√y)^2>=0
故
x+y>=(√a+√b)^2
1=a/x+b/y
x+y=x(a/x+b/y)+y(a/x+b/y)
=a+b+b(x/y)+a(y/x)
(√a+√b)（√a+√b）
=a+b+2√ab
算术平均数>=几何平均数
=>b(x/y)+a(y/x)/2>=√ab
所以x+y>=(√a+√b)（√a+√b）．