日加一笔能有几个字?:平面镶嵌

平面镶嵌：

正多边形有无限多种，正三角形、正方形、正五边形等等。其实，任何边数的正多边形都存在，因为可以设想将圆周n等分（n≥3），顺次连接相邻的分点，那么得到的内接多边形就是正n边形。
我们的问题是用正多形来镶嵌平面，也就是说取正多边形，彼此不重叠地铺放在地面上，不准有任何地面露出来。
显然，用同样大小的正方形、正三角形、正六边形，各自都可以铺满平面。

然而，如果这种镶嵌不限于用同一种正多边形，只要求同一种正多边形是有同样尺寸的。那么怎样寻求其它种类的镶嵌方案呢？

一、如果能实现平面的镶嵌，镶嵌图的每个顶点都必须是集中了几个正多边形的顶角。于是在每一顶点集中的顶角刚好拼成一个圆周角。因为每一个正n边形的内角为倍的直角，即，因此，要找到这样的拼图，须找到正整数n, p，q，r，……，使
这是个奇怪的方程式。其奇怪之处在于未知数的个数未确定，但限制未知数必须是不小于3的整数。这个方程不只有一组解，但是能有多少组解呢？
让我们先作一点分析。假定有m个大于3的整数满足方程，记为(n1，n2，n3...nm)，即
于是有
即
由于n1，n2，…nm每个都不小于3，于是由，知道必有，故m≤6 。
又由于一个顶点处至少要有三个角拼在一起才行，否则必有超过或等于180°的角，所以m≥3。至此，我们的解答中，每一组解中未知数个数只能是3，4，5，6之中。现在看看怎样求解。
令n=3，则
令p=3，则
令q=3，则
令r=3，则
令s=3，则
令t＝3，则
这就是说，我们找到了6个数，n=3, p=3, q=3, r=3, t=3，这组解记为（3，3，3，3，3）。请看图中的第二个图，这就是这组解相应的镶嵌图。
注意上面令s=3时，注定了t必须得3。因此上面求解中进行到r=3之后，有方程

（1）令s=4，试试则有
于是t=3,4,5,…，都会使这样的方程的右端成为负数，这是不可能的，故在n=3, p=3, q=3，r=3之后，s=4是不可能的。
（2）令s=5，试试，这时
这时，若t=3，则
u取任何大于3的正整数皆使以后这样的方程右端为负数，故令s=5试验是失败的。这又说明s=5是不可能的。
（3）令s=6，这时正好有。对s>6不用试了，因为这将使以后这样的方程右端为负数。至此得另一组解（3，3，3，3，6）。

二、上面的求解方程虽然显的笨拙，但这是有用的。把各种可能发生的情况都逐一考虑，只要问题本身是有有限种解答，那么都举出来研究，这叫“穷举法”。
继续上面的推理，已经考虑了解答中出现六个3的情况，及出现四个3与一个6的情形。下面考虑三个3的情形，经过推导，容易得出解答（3，3，3，4，4），含三个3的只有这一种可能。
接着考虑含有两个3的解答，可得（3，3，6，6），（3，3，4，12）。
若考虑含有一个3的解答，得（3，7，42），（3，8，24），（3，9，18），（3，10，15），（3，12，12）
下面列出17组解答：
（3，7，42）
（3，8，24）
（3，9，18）
（3，10，15）
（3，12，12）
（4，5，20）
（4，6，12）
（4，8，8）
（5，5，10）
（6，6，6）
（3，3，4，12）
（3，3，6，6）
（3，4，4，6）
（4，4，4，4）
（3，3，3，4，4）
（3，3，3，3，6）
（3，3，3，3，3，3）
有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地给制出了这些图样，真是令人叹为观止。