扎格拉玛:柯西收敛定理的证明

我只证充分性：Cauchy列（基本列）收敛
证明：
1、首先证明Cauchy列有界
取e=1,根据Cauchy列定义，取自然数N，当n>N时有c
|a(n)-a(N)|<e=1
由此得：
|a(n)|=|a(n)-a(N)+a(N)|<=|a(n)-a(N)|+|a(N)|<1+|a(N)|
(通俗理解，a(n)无论怎么样也大不过a(N)绝对值加1，显然根据经验这是有界的。但数学里需要严格的表达，下面因为N前的N-1个项，有最大值，所以得出了有界).
令：
M=Max{|a(1),a(2),……,|a(N)|,|a(N)|+1}
这样就证明了，对于任何n都有a(n)<=M。
所以Cauchy列有界。

2、其次在证明收敛
因为Cauchy列有界，所以根据Bozlano-Weierstrass定理（有界数列有收敛子列）存在一个子列aj(n)以A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。（注意这种证明方法是实数中常用的方法：先取点性质，然后根据实数稠密性，考虑点领域的性质，然后就可以证明整个实数域的性质了）
因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的e>0，都存在N,使得m、n>N时有
|a(m)-a(n)|<e/2
取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得
|aj(k)-A|<e/2
因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时，我们有
|a(n)-A|=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|<e/2+e/2=e
这样就证明了Cauchy列收敛于A.
即得结果：Cauchy列收敛

注意：
1、e是表示按照读音epslon写的那个希腊文。
2、上面a(n)表达中，n表示下标；aj(n)中，j(n)表示a的下标，n表示j的小标。