东方园林 张诚:求证:若整数系数方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)有有理根,则a,b,c中至少有一个是偶数。
来源:百度文库 编辑:神马品牌网 时间:2024/05/10 06:31:40
题目没有错,条件也没有少。
证:已知方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)有有理根
故上方程的判别式△=b^2-4ac≥0
讨论:
一、△=0,b^2-4ac=0
ac=(b/2)^2
因a、b、c是整数,由已知条件可知,b必是2的倍数,故b一定是偶数。
二、△=b^2-4ac>0,
设b^2-4ac=(n/m)^2,m、n为整数,m≠0,n≠0
(b+n/m)*(b-n/m)=4ac=4*ac=4a*c=4c*a
(1)
b+n/m=4
b-n/m=ac
b=2+ac/2
因a、b、c是整数,故ac是2的倍数,因此a、c两数中,必有一个是2的倍数,即a、c两数中,必有一个是偶数。
(2)
b+n/m=4a
b-n/m=c
b=2a+c/2
因a、b、c是整数,故c是2的倍数,因此c一定是偶数。
(3)
b+n/m=4c
b-n/m=a
b=2c+a/2
因a、b、c是整数,故a是2的倍数,因此a一定是偶数。
故若整数系数方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)有有理根,则a,b,c中至少有一个是偶数。
求证:若整数系数方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)有有理根,则a,b,c中至少有一个是偶数。
已知ax*+bx+c=0,且abc为奇数,求证:方程无整数根。
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