怎样判断是兜下巴:设R为所有实数所组成的集合。设函数 f 对於任何的实数x，y有 f(x+y)+f(x-y)+f(2x)=4f(x)f( x+y

来源：百度文库编辑：神马品牌网时间：2024/04/29 00:01:19

设R为所有实数所组成的集合。设函数 f : R→ R满足：对於任何的实数x，y有 f(x+y)+f(x-y)+f(2x)=4f(x)f( x/2+y/2)
f( y/2-x /2 )-1 及f(1)=0。

证明f(x)是偶函数；
证明f(x)是周期函数且求其周期；
对於任何整数n，求f(n)。希望有高手帮我解答

令x=y=1,则f(2)+f(0)+f(2)=4f(1)f(1)f(0)-1
于是 2f(2)+f(0)=-1......①
令x=1,y=0,则f(1)+f(1)+f(2)=4f(1)f(1/2)f(-1/2)
于是f(2)=-1........②
联立①,②得
f(0)=1, f(2)=-1
令x=y,则f(2x)+f(0)+f(2x)=4f(x)f(x)f(0)-1.......③
令x=-y,则f(0)+f(2x)+f(2x)=4f(x)f(0)f(-x)-1......④
联立③④,因为f(x)不恒等于零,所以
f(x)=f(-x),于是,f(x)是偶函数
令x=1,则f(1+y)+f(1-y)-f(2)=4f(1)f(1/2+y/2)f(y/2-1/2)-1

于是,f(1+y)+f(1-y)=0.....⑤
令1+y=x,则1-y=2-x,代入⑤式
得 f(x)+f(2-x)=0,

由于是偶函数,所以 f(x)+f(x-2)=0.......⑥
将(x-2)当作自变量,由⑥式得
f(x-2)+f[(x-2)-2]=0

所以f(x)=f(x-4),最小周期为4
所以,f(3)=f(-3)=f(1-4)=f(1)=0,f(1),f(2),f(0)已求出,故表达式可写成 f(n)=cos(nπ/2)
其中π表示圆周率pai

这个题有点复杂，明后天再给答案吧。

既然有人答出来了,我就不重复了.

设R为所有实数所组成的集合。设函数 f 对於任何的实数x，y有 f(x+y)+f(x-y)+f(2x)=4f(x)f( x+y 设函数f(x)的定义域为R,且x1不等于x2,使f(x2)不等于f(x1),又对任何实数x,y 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x属于R,(1)讨论f(x)的奇偶性；（2）求f(x)的最小植设函数f(x) 的定义域为正实数，且满足条件f(4)=1,对于任意x1,x2∈正实数，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), 设集合｛x|x^2+ax+5≤4,x∈ R｝中只有一个元素，则实数a的值为＿＿？设f(x)是R上的函数且满足f(0)=1,并且对任意实数x.y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)求f(x)的表达式设f(x)定义域为R，满足f(0)=1，且对任意实数a，b都有f(a) -f(a-b)= b(2a-b+1)，求f(x)的解析式设函数f (x)是定义域为R的函数，且f (x+2)[1-f (x)]=1+f (x),又f (2)= 2 + 根号2。则f (2006)=____ 设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(3-x)=f(3+x),且方程f(x)=0,有6个不同的实根，六根之和为多少设函数f(x)(x属于R)为奇函数,f(1)=1/2,f(x 2)=f(x) f(2),则f(5)等于( )