神马品牌网辰溪县城未来规划:1个小学最大值问题
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/05/04 19:56:32
已知A+B=5
求A*B的的最大值
我已经知道A=B=2.5
问题是怎么证明，请给个详细步骤。
谢谢
求A*B的的最大值
我已经知道A=B=2.5
问题是怎么证明，请给个详细步骤。
谢谢
A+B=5
(A+B)^2=25
A^2+B^2+2AB=25
A^2+B^2=25-2AB
(A-B)^2≥0
A^2+B^2-2AB≥0
A^2+B^2≥2AB
25-2AB≥2AB
4AB≤25
AB≤25/4
可以看出：
当A=B=2.5时，(A-B)^2取最小值0
此时AB取最大值25/4
A+B=5
(A+B)^2=25
A^2+B^2+2AB=25
A^2+B^2=25-2AB
(A-B)^2≥0
A^2+B^2-2AB≥0
A^2+B^2≥2AB
25-2AB≥2AB
4AB≤25
AB≤25/4
可以看出：
当A=B=2.5时，(A-B)^2取最小值0
此时AB取最大值25/4
因为A+B=5,所以A，B至少一个大于0。
若只有一个大于0，则AB<0。
若都大于0，则
5=A+B>=2(AB)^(1/2)
所以 AB<=(5/2)^2=6.25
当且仅当 A=B=2.5时，等号成立
这个要用到高中的均值不等式
找到高二的书的上学期的第一章就是了
由a+b=5--->a=5-b
则a*b--->(5-b)*b
打开括号5b-b*b最大就是说求-b*b+5b=0求顶点
由顶点公式得到b=2.5带入以知条件得到a=2.5
由a+b=5--->a=5-b
则a*b--->(5-b)*b
打开括号5b-b*b最大就是说求-b*b+5b=0求顶点
由顶点公式得到b=2.5带入以知条件得到a=2.5