神马品牌网方倍工作室 微信开发:初二数学问题
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/04/28 00:14:58
已知a,b,c是三角形的三边，且满足
(a+b+c)的平方＝3（a的平方＋b的平方＋c的平方）
求证：这个三角形是等边三角形
(a+b+c)的平方＝3（a的平方＋b的平方＋c的平方）
求证：这个三角形是等边三角形
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3a^2+3b^2+3c^2
2ab+2bc+2ac=2a^2+2b^2+2c^2
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
a=b,b=c,a=c
END
(a+b+c)^2=3a^2+3b^2+3c^2
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+abc=3a^2+3b^2+3c^2
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
a=b=c
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3(a^2+b^2+c^2)
所以:a^2+b^2+c^2=ac+bc+ab
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc>=0
所以:2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2ac+2bc
即:a^2+b^2+c^2>=ac+bc+ab
等号在(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0时成立.
所以(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0,所以a=b=c