神马品牌网欧阳雨晖琴岛之夜:高二椭圆
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/04/28 23:14:29
已知：F1、F2是椭圆(x/a)^2+(y/b)^2=1的两个焦点，P是椭圆上的一点，∠F1PF2=60度
(1)求椭圆离心率的取值范围
(2)求证△F1PF2的面积与短轴长度有关
(1)求椭圆离心率的取值范围
(2)求证△F1PF2的面积与短轴长度有关
一楼楼主好晕啊,椭圆离心率是小于1的啊!!
正确答案是:椭圆离心率的取值范围为〔1/2，1）
我来解答:
第一小题：
由椭圆的第一定义得|PF1|+|PF2|=2a (1)
在三角形F1PF2中利用余弦定理，
|PF1|^2+|PF2|^2-|F1F2|^2=2*|PF1|*|PF2|cos∠F1PF2
即|PF1|^2+|PF2|^2-4c^2=|PF1|*|PF2| (2)
由(1)(2)可得|PF1|*|PF2|=4(a^2-c^2)/3
利用均值不等式可得由(1)
|PF1|*|PF2|＜＝a^2
则4(a^2-c^2)/3＜＝a^2
求得a^2＜＝4c^2，可得1/2＜＝c/a＜1
则椭圆离心率的取值范围为〔1/2，1）
第二小题利用了刚才上题计算的结果，
|PF1|*|PF2|=4(a^2-c^2)/3=4b^2/3
由于a^2-c^2=b^2，sin∠F1PF2=(根号3)/2
在利用正弦定理可得
△F1PF2的面积=(|PF1|*|PF2|sin∠F1PF2)/2
=4*(根号3)*b^2/12
所以△F1PF2的面积与短轴长度有关