神马品牌网梦幻藏宝阁估号软件:数学不等式高二（上）
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/04/26 08:53:49
两次购买同一种商品的两种不同策略：
一：不考虑物品价格升降，每次购买的数量一定
二：不考虑物品价格升降，每次购买所花的钱数一定
问：若两次购买这种物品时价格不同，则两种策略中比较经济的一种是？
（这和数学不等式有关吗？？？）
请写出正确的理由,用到数学知识，
一：不考虑物品价格升降，每次购买的数量一定
二：不考虑物品价格升降，每次购买所花的钱数一定
问：若两次购买这种物品时价格不同，则两种策略中比较经济的一种是？
（这和数学不等式有关吗？？？）
请写出正确的理由,用到数学知识，
设买了n次商品，第i次购买时单价为Xi元/件
1.第一种购买情况
设每次购买a件商品
则每件商品的平均价钱为
(X1*a+X2*a+x3*a+……+Xn*a)/(a*n)=(X1+X2+X3+……+Xn)/n,即为Xi的算术平均数
2.第二种购买情况
设每次所花钱数为b元
则每件商品的平均价钱为
b*n/(b/X1+b/X2+b/X3+……+b/Xn)=n/(1/X1+1/X2+1/X3+……+1/Xn)
由柯西(Cauchy)不等式可得(X1+X2+X3+……+Xn)*(1/X1+1/X2+1/X3+……+1/Xn)>=n*n
所以(X1+X2+X3+……+Xn)/n>=n/(1/X1+1/X2+1/X3+……+1/Xn)
所以第二种平均价格更少，也就是更划算
也可由均值不等式得X1+X2+X3+……+Xn>=n次根号下X1*X2*X3……*Xn及1/X1+1/X2+1/X3+……+1/Xn>=1/(n次根号下X1*X2*X3……*Xn)
所以n/(1/X1+1/X2+1/X3+……+1/Xn)<=n*(n次根号下X1*X2*X3……*Xn)<=(X1+X2+X3+……+Xn)/n
所以(X1+X2+X3+……+Xn)/n>=n/(1/X1+1/X2+1/X3+……+1/Xn)
所以第二种平均价格更少，也就是更划算
数量（一定）乘单价＝所花钱 所花钱（一定）除单价＝数量 可能不能除尽？