神马品牌网冰冷公主vs绝情王子:高手帮忙解一下高中数学题目
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/04/30 12:03:54
两个数列{an},{bn}满足bn=(a1+2a2+3a3+……+nan)/(1+2+3+……+n),(n∈N*),证明：数列{bn}是等差数列的充要条件是{an}也是等差数列。
首先要注意的是题目的要求求的是“充要条件”即题目分成为两个，
1、求当{bn}是等差数列的时候证明{an}是等差数列
2、求当{an}是等差数列的时候证明{bn}是等差数列
问题一
因为bn是等差数列所以bn＝b1+（n-1)q
又因为
{bn}满足bn=(a1+2a2+3a3+……+nan)/(1+2+3+……+n)
所以bn-1=(a1+2a2+3a3+……+n-1an-1)/(1+2+3+……+n-1)
移项得：(a1+2a2+3a3+……+nan)＝bn*(1+2+3+……+n)
(a1+2a2+3a3+……+n-1an)＝bn-1*(1+2+3+……+n-1)
①式－②式得到：
nan＝nbn+(1+2+3+……+n-1)q
变形得到nan＝nbn+n（n-1）/2q
得到：an＝bn+（n-1）/2q
得到an＝b1+（n-1）q+（n-1）/2q
得到an＝b1+3（n-1）q/2
设3/2q＝Q
得到an＝b1+（n-1）Q
所以an是等差数列
证毕！！