神马品牌网如何练出自然的卧蚕:两道数学题
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/05/04 14:29:56
1.已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上的一动点,且满足PA×AB=向量PB×向量AB
（1）求p的轨迹方程
（2）已知点（m，2）在曲线C上，过点A作曲线的两条弦AD,AE，且AD,AE的斜率k，K满足k×K,求证直线DE过定点，并求出这个点
2.已知a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，求证1/a+1/b+1/c>根号下a+根号下b+根号下c
第一个问题中“PA×AB=向量PB×向量AB”为两线段相乘等于两个向量相成
（1）求p的轨迹方程
（2）已知点（m，2）在曲线C上，过点A作曲线的两条弦AD,AE，且AD,AE的斜率k，K满足k×K,求证直线DE过定点，并求出这个点
2.已知a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，求证1/a+1/b+1/c>根号下a+根号下b+根号下c
第一个问题中“PA×AB=向量PB×向量AB”为两线段相乘等于两个向量相成
1：第一题较麻烦，直接法一步一步做就可以作出来，是椭圆
2:1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ac)/abc=ab+bc+ac
ac+bc>=2c*根(bc) bc+ac>=2c*根(ab) bc+ab>=2b*根(ab) 所以 2(bc+ac+ab) =(ac+ab)+(bc+ac)+(bc+ab)>=2[a根号(bc)+c根号(ab)+b根号(ac)] =2根号abc(根号a+根号c+根号b) =2(根号a+根号c+根号b) 即：1/a+1/b+1/c>=根号下a+根号下b+根号下c
第一个问题不明白“PA×AB=向量PB×向量AB”是什么意思。乘？内积？叉积？
第二个问题可以这样解:
换元:设x=1/根号a，y=1/根号b，z=1/根号c。
条件变成xyz=1，结论变成x^2+y^2+z^2>1/x+1/y+1/z。
用xyz=1乘上不等式的右边，得：
x^2+y^2+z^2>yz+zx+xy
移项、配方，得：
(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>0。
因为a,b,c不等，所以x,y,z不等，上式成立。
所以原命题成立。