神马品牌网北京华为客户服务中心:两道数学题
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/04/26 11:57:09
二.若自然数P不是一个完全平方数,证明P的平方根是无理数.
一：
假定√2 = p/q 其中p、q互质，那么有：p^2 = 2*q^2.....(1)
所以p^2是偶数，p肯定是偶数，所以可记 p = 2k，那么代入(1)式子则有 q^2 = 2*k^2 ....q也是偶数，这样p、q互质假定错误，反证√2是分数的假设错误，所以√2不是有理数。
√3可以同样反证，注意是 3 的整数倍条件。
.........................................
二：
如果 P 不是完全平方数，那么可以假定 P = p1*p2*p2*...*pn
其中 p1、p2、p3...是P的质数因子，同样使用反证法涓假定：√P = a/b，其中a、b互质，那么
a^2 = P*b^2 = (p1*p2*p3*....*pn)*b^2 ......(1)
a^2 具有因子(p1*p2*p3*....*pn)，而(p1,p2,p3,....,pn)均为质数，都不是完全平方数，所以a中必然具有(p1*p2*p3*....*pn)因子，所以可以表示为：
a = (p1*p2*p3*....*pn)*K
代入(1)式子，则有
b^2 = (p1*p2*p3*....*pn)*K^2 ....b也具有因子(p1*p2*p3*....*pn)，此与原a、b互质假设矛盾....
证明完毕。
假定√2 = p/q 其中p、q互质，那么有：p^2 = 2*q^2.....(1)
所以p^2是偶数，p肯定是偶数，所以可记 p = 2k，那么代入(1)式子则有 q^2 = 2*k^2 ....q也是偶数，这样p、q互质假定错误，反证√2是分数的假设错误，所以√2不是有理数。
√3可以同样反证，注意是 3 的整数倍条件。
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二：
如果 P 不是完全平方数，那么可以假定 P = p1*p2*p2*...*pn
其中 p1、p2、p3...是P的质数因子，同样使用反证法涓假定：√P = a/b，其中a、b互质，那么
a^2 = P*b^2 = (p1*p2*p3*....*pn)*b^2 ......(1)
a^2 具有因子(p1*p2*p3*....*pn)，而(p1,p2,p3,....,pn)均为质数，都不是完全平方数，所以a中必然具有(p1*p2*p3*....*pn)因子，所以可以表示为：
a = (p1*p2*p3*....*pn)*K
代入(1)式子，则有
b^2 = (p1*p2*p3*....*pn)*K^2 ....b也具有因子(p1*p2*p3*....*pn)，此与原a、b互质假设矛盾....