神马品牌网天音通信人工电话:数学不等式
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/05/12 12:31:48
a+b+c=0 求证ab+bc+ac≤0
∵ a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a
∴ (a+b)^2=c^2,(a+c)^2=b^2,(b+c)^2=a^2
∴ (a+b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2=a^2+b^2+c^2
∴ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0
∴ a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)
又∵ a^2+b^2+c^2≥0
∴ -2(ab+ac+bc)≥0
∴ ab+bc+ac≤0
a+b+c=0
所以(a+b+c)平方=0
所以a平方+b平方+c平方+2ac+2ab+2bc=0
因为a平方+b平方+c平方 大于等于0
所以2ac+2ab+2bc≤0
故ab+bc+ac≤0
解法:等式左右两边同乘2
得:a+b+c+a+b+c=0
因为a+b>=2ab
b+c>=2bc
a+c>=2ac
所以a+b+c+a+b+c>=2ab+2bc+2ac
结果0>=2ab+2bc+2ac
即ab+bc+ac=<0
∵2(ab+ac+bc)=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=-(a^2+b^2+c^2)
当a=b=c=0时-(a^2+b^2+c^2)=0 则 -(a^2+b^2+c^2)/2=0
当a,b,c中有一个不为0时 -(a^2+b^2+c^2)<0
则 -(a^2+b^2+c^2)/2<0
∴ab+bc+ac≤0