小区大门造型图片大全:是否能找四个不同的正整数，使得两两之和都是完全平方？

可以 （这里给出一组 四个数 x=174897 y=264672 z=5728 ,m=775728 ，可用计算器检验)
解答及分析如 ：下设这四个数分别为 x,y,z,m 且满足：
x+y=a^2 ....①
x+z=b^2 ....②
y+z=c^2 ....③
x+m=d^2 ....④
y+m=e^2 ....⑤
z+m=f^2 ....⑥
(!!! !!!!）中间的为注释部分，为方便理解输入的,可不看
其实，其中只有x,y,z,w 四个未知数(a,b,c,d,e,f是已知），而却有6个方程，其中a,b,c,d,e,f必然有特殊关系，（注释!!! 比如， x+y=2,x-y=0, 2x+y=m 若要该方程组有解，必然是m=3 又比如，x+y=2p,x-y=2q,2x+y=m 若该方程有解，由前两个式子得 x=p+q,y=p-q,代入第三个，可求出m与p,q的关系，m=3p !!! 注释完）
而在此题中很明显 ，根据.①,②,③ 我们可以解出x,y,z(用a^2,b^2,c^2表示) 而④.⑤.⑥ 三个式子，却只剩下一个m, 所以我们可以根据这三个式子 得到a,b,c,d,e,f之间的关系，进一步求出a,b,c,d,e,f 再求 x,y,z,m
由①+⑥,求得 m=a^2+f^2-x-y-z
由② ⑤,得 m=b^2+e^2-x-y-z
由 ③④ 得，m=c^2+d^2-x-y-z
根据上面三个式子 ，得到a^2+f^2=b^2+e^2=c^2+d^2 也就是a,b,c,d,e,f 满足的关系
于是问题转化为 是否存在 a,b,c,d,e,f 满足 a^2+f^2=b^2+e^2=c^2+d^2 成立。
以下为一种思路，来寻找这样的数，
先寻找三组 勾股数 3^2+4^2 =5^2 , 5^2+12^2=13^2, 8^2+15^2=17^2 然后扩大一定倍数，使得三组斜边的平方相等
3^2+4^2 =5^2 两边同乘以 (13*17)^2得到:(3*13*17)^2+(4*13*17)^2=(5*13*17)^2
5^2+12^2=13^2, 两边同乘以 (5*17)^2 得:(5*5*17)^2+(12*5*17)^2=(5*13*17)^2
同样 8^2+15^2=17^2 两边乘以(5*13)^2 得，(8*5*13)^2+(15*5*13)^2=(5*13*17)^2
于是 得到了符合条件的答案:
(3*13*17)^2+(4*13*17)^2=(5*5*17)^2+(12*5*17)^2=(8*5*13)^2+(15*5*13)^2
也就是a=3*13*17=663, f=4*13*17=884, b=5*5*17=425 ,e=12*5*17=1020,c=8*5*13=520,d=15*5*13=975
可以得到 a^2=439569 ,b^2=180625 ......
代入①②③④⑤⑥ 解出答案
x=174897 y=264672 z=5728 m=775728
(也可以先代入①②③解出x,y,z 再解m)

花了蛮长时间输入的,是道好题！！

当然不能
设x<y<z<w.
x+y+z+w
=(x+y)+(z+w)=a^2+b^2
=(x+z)+(y+w)=c^2+d^2
=(x+w)+(y+z)=e^2+f^2

a^2+b^2=c^2+d^2=e^2+f^2如果成立，就能找到4个数。
因为4个数都不同，x<y<z<w.
所以a<c<e<d<b.
假设a=c-g,
a^2+b^2
=（c-g)^2+b^2
=c^2+(b^2-2cg+g^2)
=c^2+d^2
则d^2=b^2-2cg+g^2
因为b最大，b>c
d^2=b^2-2cg+g^2>b^-2bg+g^2=(b-g)^2
d>b-g.
g=c-a>b-d
a+b<c+d
同样有:c+d<e+f

a+b<c+d<e+f。不存在这样的4个数

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是否能找四个不同的正整数，使得两两之和都是完全平方？
悬赏分：50 - 离问题结束还有 14 天 18 小时
如果是只找三个数，那么非常简单。
设 x=(a^2+b^2-c^2)/2 ;
y=(a^2+c^2-b^2)/2 ;
z=(b^2+c^2-a^2)/2 .
于是 x+y, y+z, z+x 都是完全平方数。
问题补充：如果你觉得不能找到，请大致给个理由，或者提供相关的资料来源。
提问者：ramanuja - 助理 二级

答复共 3 条
不能
回答者：玄风·舞 - 经理 四级 7-25 14:25

一般好多现象都是三个可以四个不行，就像三角形最稳定一样。这道题也只是感觉不存在，自己闹不清。
回答者：永远是新手 - 试用期 一级 7-25 17:02

当然不能
设x<y<z<w.
x+y+z+w
=(x+y)+(z+w)=a^2+b^2
=(x+z)+(y+w)=c^2+d^2
=(x+w)+(y+z)=e^2+f^2

a^2+b^2=c^2+d^2=e^2+f^2如果成立，就能找到4个数。
因为4个数都不同，x<y<z<w.
所以a<c<e<d<b.
假设a=c-g,
a^2+b^2
=（c-g)^2+b^2
=c^2+(b^2-2cg+g^2)
=c^2+d^2
则d^2=b^2-2cg+g^2
因为b最大，b>c
d^2=b^2-2cg+g^2>b^-2bg+g^2=(b-g)^2
d>b-g.
g=c-a>b-d
a+b<c+d
同样有:c+d<e+f

a+b<c+d<e+f。不存在这样的4个数
回答者：liuking123 - 首席运营官 十二级 7-25 19:13

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匿名回答

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一般好多现象都是三个可以四个不行，就像三角形最稳定一样。这道题也只是感觉不存在，自己闹不清。

能

我不知道啊