信托经典案例:高中数学竞赛试题数论

来源：百度文库编辑：神马品牌网时间：2024/04/29 19:37:49

求证：任意整数n，可以表示为5个立方数之和。

正确答案如下:
6n=(n-1)^3+(n+1)^3+(-n)^3+(-n)^3+0^3

6n-1=(n-1)^3+(n+1)^3+(-n)^3+(-n)^3+(-1)^3

6n-2=6(n+1)-8=(n)^3+(n+2)^3+(-n-1)^3+(-n-1)^3+(-2)^3

6n-3=6(n+4)-27
=(n+3)^3+(n+5)^3+(-n-4)^3+(-n-4)^3+(-3)^3

6n-4=6(n+10)-64
=(n+9)^3+(n+11)^3+(-n-10)^3+(-n-10)^3+(-4)^3

6n-5=6(n+20)-125
=(n+19)^3+(n+21)^3+(-n-20)^3+(-n-20)^3+(-5)^3

6n=(n-1)^3+(n+1)^3+(-n)^3+(-n)^3+0^3

6n-1=(n-1)^3+(n+1)^3+(-n)^3+(-n)^3+(-1)^3

6n-2=6(n+1)-8=(n)^3+(n+2)^3+(-n-1)^3+(-n-1)^3+(-2)^3

6n-3=6(n+4)-27
=(n+3)^3+(n+5)^3+(-n-4)^3+(-n-4)^3+(-3)^3

6n-4=6(n+10)-64
=(n+9)^3+(n+11)^3+(-n-10)^3+(-n-10)^3+(-4)^3

6n-5=6(n+20)-125
=(n+19)^3+(n+21)^3+(-n-20)^3+(-n-20)^3+(-5)^3
回答者：fangga1983 - 经理五级 7-20 09:22

6n=(n-1)^3+(n+1)^3+(-n)^3+(-n)^3+0^3

6n-1=(n-1)^3+(n+1)^3+(-n)^3+(-n)^3+(-1)^3

6n-2=6(n+1)-8=(n)^3+(n+2)^3+(-n-1)^3+(-n-1)^3+(-2)^3

6n-3=6(n+4)-27
=(n+3)^3+(n+5)^3+(-n-4)^3+(-n-4)^3+(-3)^3

6n-4=6(n+10)-64
=(n+9)^3+(n+11)^3+(-n-10)^3+(-n-10)^3+(-4)^3

6n-5=6(n+20)-125
=(n+19)^3+(n+21)^3+(-n-20)^3+(-n-20)^3+(-5)^3

由n^3 - n = 0 (mod 6)得n^3 - n = 6x，于是n = n^3 - (x + 1)^3 - (x - 1)^3 + x^3 + x^3 ？？
错了个数吧？
由n^3 - n = 0 (mod 5)得n^3 - n = 5x，于是n = n^3 - (x + 1)^3 - (x - 1)^3 + x^3 + x^3

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