神马品牌网杨颖黄晓明一天几次:有关导数的题
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/04/28 14:56:11
已知函数f(x)=-x^3+ax^2+b ，若在该函数的图象上，任意不同的两点的连线的斜率都小于1。⑴求a的取值范围；⑵若x∈[0，1]，则函数y＝f(x) 的图象上任意一点的切线斜率为k，试讨论 |k|小于等于1成立的充要条件。
(1) 设A（X1,f(X1)) B(X2,f(X2)),则
K(AB)=[f(X1)-f(X2)]÷(X1-X2)
=[X1^3+aX^2+b-(X2^3+aX2^2+b)]÷(X1-X2)
=(X1^3-X2^3+aX1^2-aX2^2)÷(X1-X2)
=[(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)+a(X1-X2)(X1+X2)]÷(X1-X2)
=X1^2+X1X2+X2^2+a(X1+X2)
=X1^2+(a+X2)X1+X2^2+aX2＜1
∴ X1^2+(a+X2)X1+X2^2+aX2-1＜0
∴△1=(a+X2)^2-4*(X2^2+aX2-1＞0
∴-3X2^2-2aX2+a^2+4＞0
∴△2=(-2a)^2-4*(-3)(a^2+4)＞0
∴4a^2+12＞0 ∴a∈R
(2)f'(x)=3X^2+2aX
∴K=3X^2+2aX(0＜X＜1)
∵|k|≤1
∴|3X^2+2aX|≤1∴-1≤3X^2+2aX≤1在X∈(0,1)上恒成立
∴a∈[-根号3,-1]
以上步步可逆
∴|k|≤1的充要条件是a∈[-根号3,-1]
楼上第一问回答有误
由题目可知~图象上必有过一点的切线与任意两点的连线的直线平行~即斜率相等
导函数f'(x)=-3x^2+2ax<1
则问题转化为求抛物线顶点位于x轴下方的问题~ 化简得a^2<12
解得a∈（-根3，根3）