南京浦口工商银行:数列问题

当已知条件没有告诉我们数列的类型，并且告诉了前n项S（n）和与通项a（n）的关系式时，有一般的通法：
1、n=1时，a（1）=S（1）（把n=1代入可求）
2、n大于等于2时，有S（n）-S（n—1）=a（n）

对于此题，a（1）=S（1）=1
n大于等于2时，S（n）-S（n—1）=a（n）
即：a（n）*n^2-a（n-1）*(n-1)^2=a（n）
整理得:a（n）/a（n-1）=(n-1) /(n+1)
对于这种比值的形式，下面多用迭乘的方法：
a（2）／a（1）＝1／3
a（3）／a（2）＝2／4
a（4）／a（3）＝3／5
a（5）／a（4）＝4／6
……
a（n）/a（n-1）=(n-1) /(n+1)

把以上这些等式的左右两边分别相乘，可得到：
a（n）/a（1）=2 /[n(n+1)]
所以a（n）=2 /[n(n+1)]（n大于等于2）

通过验证，n=1时也符合此公式。故a（n）=2 /[n(n+1)]是 通项公式。

这里说的是这类题目的一般方法：
关系：1、n=1时，a（1）=S（1）（把n=1代入可求）
2、n大于等于2时，有S（n）-S（n—1）=a（n）
在用第二步时，有的可以用这里的迭乘法 也有的用的是迭加的方法。

至于S（n），只要把求出的a（n）代入已知条件可得：
S（n）=n^2*a（n）=2n/(n+1)

Sn=n^2*an
S(n+1)=(n+1)^2*a(n+1)
下式-上式，得a(n+1)=(n+1)^2*a(n+1)-n^2*an
a(n+1)/an=n/(n+2)
n等于1时，an=1，Sn=1；
n大于等于2时，
an=a1*(a2/a1)*(a3/a2)*…*(an/an-1)=1*(1/3)*(2/4)*…*（n-1)/(n+1)=2/[n(n+1)],
Sn=n^2*an=2n/(n+1)

呼。。花了2分钟做出来，10分钟打出来。。

an=a1*(a2/a1)*(a3/a2)*…*(an/an-1)=1*(1/3)*(2/4)*…*（n-1)/(n+1)=2/[n(n+1)],
Sn=n^2*an=2n/(n+1)