神马品牌网墨西哥和纽约:高一数学问题
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在∆ABC中，（a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)>0 是∆ABC为锐角三角形的______条件。(写明过程）
是充要条件。
充分性
∵△ABC是锐角三角形。
∴0<A<90，0<B<90,0<C<90,a>0,b>0,c>0
∵cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ba
∵cosA>0,cosB>0,cosC>0,
∴c^2+b^2-a^2>0
a^2+c^2-b^2>0
a^2+b^2-c^2>0
∴（a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)>0
必要性
∵（a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)>0
∴c^2+b^2-a^2>0
a^2+c^2-b^2>0
a^2+b^2-c^2>0
或
c^2+b^2-a^2,a^2+c^2-b^2,a^2+b^2-c^2中其中两个小于0
∴分两种情况
(1)都大于0
∴cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc>0
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac>0
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ba>0
∴0<A<90,0<B<90,0<C<90
∴∆ABC为锐角三角形
(2)其中两个小于0
∴cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ba
中有两个角是钝角,无意义,舍去
充要
三个式子中只可能有一个是负的（此时为钝角）