神马品牌网文明旅游漫画图片:如何依据定义证明圆周长存在
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/05/04 18:29:11
1。内接正多边形周长当边数无穷大时的极限
2。外切正多边形周长当边数无穷大时的极限
3。内接多边形周长当最大边无穷小时的极限
4。外切多边形周长当最大边无穷小时的极限
我选择1和2的共同极限作为圆周长的定义
最大的疑惑就在于：如何严密地去证明，外切正多边形的周长，随边数增加时递减，内接正多边形的周长，却当边数增加时递增？
参见如下连接
台湾大学蔡聪明教授的撰文：圆与Pi
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/index.html、
他试图给予一个严密论证而非循环论证，但是我仍然看到他文中有如下话语：
令 Un 与 Ln 分别表示圆的外切与内接正 n 边形的周界长，那麼显然有
L3 < L4 < ...< Ln <...< Un < ... < U4 < U3
我就想知道，怎么样得到这两个“显然”的单调序列
我所见到的任何文章，帖子，包括你这篇，都只是证明了
内接正4边形周长<内接正8边形周长<内接正16边形周长<内接正32边形周长。。。
或者
内接正6边形周长<内接正12边形周长<内接正24边形周长<内接正48边形周长。。。
等等，一般情形为
内接正k边形周长<内接正2k边形周长<内接正4k边形周长<内接正8k边形周长。。。
那么怎么证明内接正7边形周长<内接正8边形周长？
或者
内接正8边形周长<内接正9边形周长？
以上的"证明"都未曾包括这一结果。
请赐教
请有针对性的给予回答，如果只是“复制现成的网页的内容”或者“直接复制前面的答复”等类似行为我会请求删除。我不需要关于pi的计算的公式，也不需要关于pi的性质的证明（诸如无理数与超越数性质等）。当然下面这个pi的存在性的命题可以看作是与我所提问的问题等价的命题："圆内接正多边形的周长与半径(此处半径定义为多边形任一顶点到圆心的距离)之比当边数趋于无穷时存在，此常数定义为pi"
a good answer.我很喜欢milksea你的回答，虽然有些地方我仍然不是特别满意，当然，我也没有说这是一个terrific的回答:)
OK，首先一点，本着科学探讨的态度，你不介意我把问题再放几天吧？我想，也许你的回答摆在那儿，会更激起其他人绞尽脑汁去思考呢！不过出于版权的考虑，如果没有更深刻的答复——我倾向认为不会有，原因我马上就要提到——我会把分数给你的。
★请到贴吧zereta吧，我在那儿有留言★
(已对前述不严密的地方做了修正. 若仍有问题, 请即指出, 不胜感谢.)
这其实是定积分性质的讨论，即曲线长度的严格定义，这方面详细的讨论在R·柯朗的《微积分与数学分析引论》（第一卷，第二分册）有。一般的微积分或数学分析教材往往略去了这方面的详细讨论，只是求助于直观。
曲线长度（当然也适用于圆）的严格定义：
我们假设曲线由方程组 x = x(t), y = y(t) (α ≤ t ≤ β)给出. 在α和β的区间上, 我们选择中间点t1, t2, t3, …, t(n-1) 使得
α = t0 < t1 < t2 < … < t(n-1) < tn = β
我们把对应于这些ti值的曲线上的点P0, P1, …, Pn 用线段依次连接起来,得到内接多边形. 内接多边开的周长依赖于点ti或多连形顶点Pi的选择方法. 现在我们设点ti的数目以这样方式无限地增加, 使最长的区间( ti, t(i+1) )的长度同时趋于零. 曲线长度就定义为这些内接多边形周长的极限, 条件是这样的极限存在并且不依赖于多边形的特殊选择方法. 当这个假定(可求长假定)满足的时候, 我们就可以谈得上曲线的长度.
(以上一段直接摘引自《微积分与数学分析引论》（第一卷，第二分册）)
下面我们的目标就是证明圆是可求长的.
在平面直角坐标中, 圆的定义为
x^2 + y^2 = r^2
也就是
y = ±√( r^2 - x^2)
只看上半圆(即上式取正号), 对上式用曲线长定义, 得到半圆周长
L = ∫√( 1 + (dy/dx)^2 ) dx (从-r积到r)
这里需要说明瑕积分的存在性. 由于瑕积分的计算要涉及三角代换, 我们回避开它.
对原问题其实只要证明有任一段圆周是可求长的就可以了. 所以, 我们只要证明上面的积分在[-r/2, r/2]存在就行了. 无妨设r = 1, 上面的函数
√( 1 + (dy/dx)^2 ) = 1 / √(1 - x^2)
无疑在[-1/2, 1/2]上连续, 从而可积.
还有一个想法, 反过头来看, 让我们回到定义去, 用圆的原始定义: 到定点的距离等于定长的点的集合. 我们来尝试证明圆是可求长的.
1)先证多边形周长序列的极限存在.
我们假设圆上已经有了n个分点P0, P1, P2, …, Pn. (其中P0和Pn是重合的) 我们只要再在圆上加上任意一个异于前面n个分点的分点P', 不妨设P(n+1)在P0和P1之间, 显然线段P0-P1短于折线P0-P'-P1(因为三角形一边长不超过两连长之和), 所以加上一个分点后总多边形边长增加. 所以这个多边形周长的序列是单调上升的.
要说明极限存在, 则只要说明周长有界. 仍用上面的分点组, 现在同时考察这一分点组上切线构成的圆外切n边形. 如图:
http://milksea.baodoo.com/common/upload/pic/16352-20060524001906-52825.jpg
不难看出, 圆外切n边形周长的大于内接n边形. 而且外切多边形的周长是单调减的(类似于内接单调增). 于是对任意的m, 取定N, 有
内接N+m边形周长 < 外切N+m边形周长 < 外切 N+m-1边形周长 < … < 外切N边形周长
即它们有公共的界.
于是极限存在.
2)再证这个极限不依赖于分点的选取.
假设圆上已经有了n个分点P0, P1, P2, …, Pn. (其中P0和Pn是重合的)
又设圆上有m个分点Q0, Q1, Q2, …, Qm. (其中Q0和Qm是重合的)
只要证多边形P1P2…Pn长L(n)和多边形Q1Q2…Qm长L'(m)极限相等. 我们可以把两组分点并起来(去掉重复的点后, 设有k个), 得到更细的一个分点组. 由1)已经得到, 这个更细的分点组对应的多边形长L''(k)比L(n)和L'(m)都大.
由于L''(k)是L(n)加上一些点得到的, 且L(n)极限存在, 所以当n充分大时, 对任意小的ε>0, 有(柯西准则)
|L''(k) - L(n)| < ε/2.
同理, 当m充分大时, 也有
|L''(k) - L'(m)| < ε/2.
所以取足够大的n有
|L(n) - L'(m)| ≤ |L''(k) - L(n)| + |L''(k) - L'(m)| < ε.
所以极限相等.
证毕.
用圆规画圆,圆周上的一点的连续运动证明圆的周长是连续函数,它是实实在在存在的,它的计算方法是你问题中的1-2来计算的,只是一个近似值,它以很准确了,目前还没有更准确的方法.