信息技术应用论文:求一类立体几何题目

其实这类立体几何题目考察对交线位置的判断，如果判断出了交线位置就转化为了一般的二面角问题了。
这类题目从两方面考虑。
1.交线和平面两个交面中的某直线平行，这样在作二面角平面角时，只要证明作的直线和这条直线平行即和交线平行。
2.延长图形中的线段，再找一个交点，那交线就可以连出来了。
只要判断对了交线，一切尽在掌握之中！
祝你好运！

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如何求二面角的大小是立体几何中的一个重点和难点，也是高考每年考查的知识点之一。本人结合教学实际，就此对该问题的各种求法做一小结。
一． 找出或作出二面角的平面角。
二面角的大小可以用它的平面角来度量，求二面角的大小问题往往要转化
为求二面角的平面角问题。
1． 定义法：
根据定义，由二面角棱上一点或两半平面上的一点作棱的垂线，从而得到
二面角的平面角。
例1 如图已知从一点出发的三条射线PA、PB、PC中，
∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，求二面角B-PA-C的大小.
解：在PA上任找一点D（异于P点），过D在平面APB
内作DE⊥PA交PB于E，过D在平面APC内作DF⊥PA
交PC于F，根据二面角的平面角的定义知，∠EDF就是
二面角B-PA-C的平面角，设 ，在Rt△PDF中，
∠DPF=60°，∠PDF=90°，则 ，同理可得
．在△EPF中，PF=PE=2a，∠EPF=60°，则EF=2a.故在△EDF中， .
所以二面角B-PA-C的大小为 ．
2．作平行线法：
若题中未给出二面角的棱，则有时可利用平行线得到棱，从而找出二面角
的平面角。
例2 如图所示立体图形中，PA垂直于正方形ABCD，
若PA=AB=a．求平面 PAB与平面PCD所成二面角的大小．
解：在面PAB内过P作PQ‖AB．∵AB CD，
∴ PQ‖CD，PQ 平面PCD．∴ 平面PAB∩平面PCD
=PQ．∵ PA⊥AB，AB‖PQ，∴PA⊥PQ．∵ PA⊥平
面ABCD，CD⊥AD．∴CD⊥PD．∵ PQ‖CD，∴PD⊥PQ．∴ ∠APD是平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角．∵PA=AB=AD，∴ ∠APD=45°．
即平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°．
3. 延展平面法：
也可利用平面的延伸找出二面角的棱，从而得二面角的平面角。
例3 如图棱长为1的正方体AC1中，E为AA1
的中点，求面DEB1与面ABCD所成的二面角．
解：延长B1E、BA交于点F，连结DF，
则DF为所求二面角的棱．∵E为AA1的中
点,∴AE为Rt△B1FB的中位线,∴FA=1,FA‖DC,
∴四边形FACD为平行四边形，∴FD‖AC．
连结BD，∵BD⊥AC，∴FD⊥BD．又因为在正方体AC1中B1D⊥AC，∴B1D⊥FD，∴∠B1DB为所求二面角的平面角．在Rt△BB1D中，
.
即面DEB1与面ABCD所成二面角为 ．
4.三垂线定理及其逆定理法：
根据三垂线定理或其逆定理，过面上的一点作另一面的垂线段，进而作出二面角的平面角。
例4 如图已知Rt△ABC，斜边BC在平面α内，点A不在α内．AB、AC分别与平面α成30°、45°角，求△ABC
所在平面与平面α所成的锐二面角的大小．
解：过A作AO⊥α于点O，在平面α内
作OD⊥BC于D，连结AD，由三垂线定理得
AD⊥BC．∴∠ADO为所求的二面角的平面角，
连BO、CO．则∠ABO、∠ACO分别为AB、
AC与平面α所成的角．设AO=a,，在Rt△ABO中，
∵∠ABO=30°，∴AB=2a.在Rt△ACO中，∵∠ACO=45°， . 在Rt△ABC中， ． ．

即△ABC所在平面与α成60°角．
5． 垂面法：
根据线面垂直的判定与性质定理和平面角的定义，过一点作棱的垂面或者
过二面角内一点到两个面的垂线作平面都能得到二面角的平面角。
例5 已知二面角α- -β内一点P到两个面的距离分别是 和 ，到棱 的距离为2，求这个二面角的大小。
解：过P作PC、PD分别垂
直于平面α和β，C、D为垂足，
则 设PC、PD
确定的平面PCD交棱 于O，分
别交α、β于射线OA、OB，则
C∈OA，D∈OB．∵PC⊥α， ,∴PC⊥ ,同理PD⊥ ．∴ ⊥平面PCD．∴ ⊥OA ， ⊥OB．∴∠AOB是二面角α- -β的平面角．∵PO 平面PCD， ⊥平面PCD，∴ ⊥PO，PO是P点到棱 的距离，即PO=2．在Rt△POC中，

由图可知∠AOB=∠POC+∠POD=105°，或∠AOB=180°-（∠POC-∠POD）=165°．
故二面角α- -β的大小为105°或165°．
二． 不作出二面角的平面角，利用常见公式间接求。
1. 利用射影面积公式： .已知平面α上面积为s的图形在
平面β上的射影面积为 ，平面α、β所成角为θ，则 ．
例6 如图正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为a，侧棱长2a，D为AA1的中点．求△BDC1与底面△ABC所成的二面角的大小．
解： 在正三棱柱ABC- A1B1C1中，
∵△ABC是△BDC1在底面ABC上的射影，
设△ABC与△BDC1面积分别是 ,所求
二面角的大小为 ∴ ．在等腰△BDC1中，
即△BDC1与底面ABC所成二面角大小为 ．
2．异面直线上两点间的距离公式：EF= ．
在两个半平面上分别作出垂直于棱的两异面直线，则这两条异面直线所成的角（或其补角）即为所成二面角的平面角，再利用上面公式即可求出。
例7 如图已知直三棱柱ABC- A1B1C1的侧棱长为1，底面的边AC=BC=1，且AC⊥BC，求二面角B-AB –C的大小．
解：过C作CD⊥AB1于D，∵AC⊥BC，
BB1⊥面ABC，∴AC⊥BB1，∴AC⊥面BB1C1C，
∴AC⊥CB1，在Rt△ACB1中，B1C= ，AC=1，
∴CD= ．过B作BE⊥AB 于E，∴DE为异面
直线BE与CD之间的距离．在Rt△ABB1中，BE
= ，∴AD=B1E= ，∴DE= ．设异面直线
BE与CD所成的角为θ，则θ（或其补角）即为二面角B-AB1–C的平面角．据公式 ，∴cosθ= ，∴θ=60°．
即所求二面角B-AB1-C的大小为60°.
3． 三面角中的正弦公式和余弦公式。
已知交于一点的三条射线OA、OB、OC，∠BOC=α，∠COA=β，∠AOB=γ，二面角B-OA-C，C-OB-A，A-OC-B的大小分别α 、β 、γ ，则有：
① ② ．
应用以上公式关键是找清楚三面角的几个相关的平面角与其所对棱为棱的二面角的对应关系。
例8 如图已知平面M⊥平面N于CD，点A∈平面M，点B∈平面N，线段AB与平面M成45°角，AB与N成30°角，
AB=2，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D．
解一：∵平面M⊥平面N于CD，AC⊥CD，AC
平面M，∴AC⊥平面N于C，∴∠ABC即为AB与N
所成的角，∴∠ABC=30°，又∵在Rt△ABC中，AB=2，
∴AC=1，BC= ．同理可得∠BAD=45°，BD= ，
且CD=1．记由AB、AD为棱的二面角分别为θ、α，
∵BD⊥平面M，∴平面BDA⊥平面CDA，∴二面角B-AD-C的大小为90°，即sinα=1.在三面角A-CBD中，由三面角的正弦公式 ，
即二面角A-PB-C的大小为 ．
解二：同上可得 ， ， ， ，在三面角A-CBD中，由三面角的余弦公式：
即二面角A-PB-C的大小为 ．
三． 利用向量运算的方法求二面角的平面角。
1．平面的方向向量的夹角即为二面角的平面角。将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内垂直于二面角的棱且指向该方向的向量）所成的角。
例9 如图9 PA⊥平面ABC，AC⊥AB，PA=AC=1，BC= ，求二面角A-PB-C的大小．
解：如图，建立空间直角坐标系C-xyz,
取PB的中点D，连结DC，可证DC⊥PB，作
AE⊥PB于E，则向量 的夹角的大小
即为二面角A-PB-C的大小．因为A（1，0，0），
B（0， ，0），C（0，0，0），P（1，0，1），
D为PB的中点，所以 ．又 ，
即E分 的比为 ，可以求出 ，所以 = ， = ， ，| |= ， ．
．所以二面角A-PB-C的大小为 ．
2．二面角的两个面的法向量的夹角（或其补角）是二面角的平面角，将二面角转化为两个面的法向量所成的角或其补角。
例10 如图10在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1， ．
求平面SCD与平面SBA所成的二面角的大小．
解：建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
则 ， 。设平面SAB的
法向量为n1= = ,平面SCD的法向量为
n2=（x,y,z）.∵ , ∴n2 · =0, n2 · =0，即 ．不妨令x=2，有y=-1，z=1.∴ n2= ．设所求二面角为θ，则 ，∴ ．
即平面SCD与平面SBA所成的二面角为 .