神马品牌网半导体材料和设备:函数y=x/1+x^2的值域的区间是多少?请列出过程
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/05/03 01:08:39
这道题求解方法比较多
方法一：
利用导数求解
y'=(1-x^2)/(1+x*x)^2
令y'=0，得x=-1或x=1
当x=-1时,y=-1/2
当x=1时，y=1/2
所以值域区间为[-1/2,1/2]
方法二：（利用均值不等式求解）
(1)当x=0时，y=0
(2)当x>0时
y=x/(1+x*x)=1/(x+1/x)
∵当x>0时，x+1/x>=2
∴ 0<y<=1/2
(3)当x<0时
y=x/(1+x*x)=1/(x+1/x)
∵当x<0时，x+1/x<=-2
∴ -1/2<=y<0
综合(1)(2)(3)可知
值域区间为[-1/2,1/2]
方法三：（利用三角变元求解）
设x=tanα
则y=tanα/(1+tanα^2)
∵sin2α=2tanα/(1+tanα^2)
∴y=1/2sin2α
又 sin2α∈[-1，1]
∴ y∈[-1/2，1/2]
解，1/Y=(X^2+1)/X=X+1/X>=根号2
所以Y<=根号2/2