神马品牌网水晶英文网名:一道十分精彩的数学小题，看看难不难得住您，喜欢数学的朋友一定进来看
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/05/06 01:01:44
把一个三位数N=102每位上的数字相加得3，而把N^2=10404的每位上的数字相加则得3^2=9
试问是否有一个正整数N，将N的每位数字相加得1000而且将N^2的每位数字相加得1000^2
请给出证明
试问是否有一个正整数N，将N的每位数字相加得1000而且将N^2的每位数字相加得1000^2
请给出证明
事实上对任意的自然数S,都存在整数N,使得N的各位数之和为S,而N^2的各位数之和恰为S^2.
对S作归纳法,为此,我们证明加强的命题,我们说N还可以每位上的数都是1.
当S=1时显然时存在的,取N=1就可以了.
现在假设对于S=m,存在整数N满足条件.
不妨设N < 10^p,p是一个足够大的自然数.
现在作自然数R = 10^2p + N ,则R的各位数之和为m+1,且R的每位上的数也都是1.
再证明R^2的各位数之和恰为(m+1)^2即可.
R^2 = 10^4p + 2 * 10^2p * N + N^2
由于N^2 < 10^2p 因此 R^2 的低2p位恰好就是N^2, 又2 * 10^2p * N < 10^4p,因此R^2的2p+1位到4p位是2*N,R^2的最高位即第4p+1位则是1,因此R^2的各位数之和就是N^2,2N和1这3个数的各位数之和的总和,由归纳假设,N^2各位数之和为m^2,N的各位数之和为m,且每一位都是1,因此2N的各位数之和是2m,因此R^2的各位数之和为:
m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2
所以命题对S=m+1也成立.
证毕.
想起了高三生活。。。。。。
................................................................................................................................................................不会
这也叫小学题?胡扯