msi季中赛edg对skt:谁能提供一些数学上《排列》的资料

巧用“捆绑”、“插空”、“分组”法－妙 解 排 列 组 合 题
在求解排列组合问题时，经常遇到有关几个元素必须相邻、几个元素互不相邻、将n个元素分成m组的问题。现将此类问题的解法通过例题介绍如下。

例1 由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数。(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数。

解 (1)：因为三个偶数2、4、6必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步：第一步将1、3、5、7四个数字排好有P44 种不同的排法；第二步将2、4、6三个数字“捆绑”在一起有P3 3 种不同的“捆绑”方法; 第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有P5 1种不同的“插入”方法。根据乘法原理共有P4 4 ·P3 3 ·P5 1 ＝720种不同的排法。所以共有720个符合条件的七位数。

解（2）：因为三个偶数2、4、6 互不相邻，所、以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：第一步、将1、3、5、7四个数字排好，有P4 4 种不同的排法；第二步将2、4、6分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个位置）中的三个位置上，有P5 3 种“插入”方法。根据乘法原理共有P4 4 ·P5 3 ＝1440种不同的排法。所以共有1440个符合条件的七位数。

例2 将A、B、C、D、E、F分成三组，共有多少种不同的分法？

解：要将A、B、C、D、E、F分成三组，可以分为三类办法：（1－1－4）分法、（1－2－3）分法、（2－2－2）分法。下面分别计算每一类的方法数：

第一类（1－1－4）分法，这是一类整体不等分局部等分的问题，可以采用两种解法。解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为一个组，有C6 4 种不同的分法。解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有C6 1 种选法，再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有C5 1 种选法，最后余下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以P2 2 。所以共有C6 1 ·C5 1 ÷P2 2 ＝15种不同的分组方法。

第二类（1－2－3）分法，这是一类整体和局部均不等分的问题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有C6 1 种不同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有C5 2 种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有C6 1 ·C5 2 ＝60种不同的分组方法。

第三类（2－2－2）分法，这是一类整体“等分”的问题，首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有C6 2 种不同的取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有C4 2 种不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组。由于三组等分存在先后选取的不同的顺序，所以应除以P3 3 ，因此共有C6 2 ·C4 2 ÷P3 3 ＝15种不同的分组方法。 根据加法原理，将A、B、C、D、E、F六个元素分成三组共有：15＋60＋15＝90种不同的方法。

例3 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？

解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有P6 6 种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有C5 3 种不同的“插入”方法。根据乘法原理共有P6 6 ·C5 3 ＝7200种不同的坐

法。

小结：（1）m个不同的元素必须相邻，有Pm m 种“捆绑”方法。

（2）m个不同元素互不相邻，分别“插入”到n个“间隙”中的m个位置有Pn m 种不同的“插入”方法。

（3）m个相同的元素互不相邻，分别“插入”到n个“间隙”中的m个位置，有Cn m 种不同的“插入”方法。

（4）若干个不同的元素“等分”为 m个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以Pm m 。
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