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1)设猫跑一步的路程(以下简称步长)为"1",跑一步的时间(以下简称步时)为"1",则猫的速度的"1"…………（这里三个单位"1"的意义不一样）
(2)"猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同"可知狗的步长5/3;
(3)"猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同"可知兔的步长为7/5
(4)"而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同"可知狗的步时为3/5
(5)"猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同"可知兔的步时为5/7
(6)由以上条件可求出狗的速度为:(5/3) / (3/5)=25/9;兔的速度为:(7/5)/(5/7)=49/25.
(7)由此可得猫、兔、狗的速度之比为1:(49/25):(25/9)=225:441:625
(8)根据行程问题中"时间相等的情况下,路程与速度成正比"得猫、兔、狗所走的路程之比也为225:441:625
(9)由此可设第一次相遇时猫、兔、狗所走的路程分别为225t,441t,625t.(t为最小的有理数)
(10)因为无论哪两种动物相遇,其中一动物比另一动物多走的路程为整数圈,故可设:441t-225t=300x,625t-441t=300y,625t-225t=300z.(x,y,z都为最小整数)
(11)整理上述方程得:x=(18/25)*t;y=(46/75)*t;z=(4/3)*t
(12)为使x,y,z最小,进一步整理得:x=(9/25)*2t;y=(23/75)*2t;z=(2/3)*2t
(13)分析上式可知2t就为25，3，75的最小公倍数,2t=75,t=37.5
(14)代入可得:
猫：225*37.5 = 8437.5m
兔：441*37.5= 16537.5m
狗：625*37.5 = 23437.5m

时间相同：取猫跑15步，则狗跑25步，兔跑21步
令猫跑35步的路程=狗跑21步的路程=兔跑25步的路程=s
猫跑15步=15/35=3/7s
狗跑25步=25/21=25/21s
兔跑21步=21/25=21/25s
速度比3/7:25/21:21/25=225:625:441
出发后第一次相遇时各跑了225k,625k,441k,差应为300的整数倍
625k-441k=184k，441k-225k=216k
k最小为75
猫225k=16875m
狗625k=46875m
兔441k=33075m

(1)设猫跑一步的路程(以下简称步长)为"1",跑一步的时间(以下简称步时)为"1",则猫的速度的"1"…………（这里三个单位"1"的意义不一样）
(2)"猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同"可知狗的步长5/3;
(3)"猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同"可知兔的步长为7/5
(4)"而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同"可知狗的步时为3/5
(5)"猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同"可知兔的步时为5/7
(6)由以上条件可求出狗的速度为:(5/3) / (3/5)=25/9;兔的速度为:(7/5)/(5/7)=49/25.
(7)由此可得猫、兔、狗的速度之比为1:(49/25):(25/9)=225:441:625
(8)根据行程问题中"时间相等的情况下,路程与速度成正比"得猫、兔、狗所走的路程之比也为225:441:625
(9)由此可设第一次相遇时猫、兔、狗所走的路程分别为225t,441t,625t.(t为最小的有理数)
(10)因为无论哪两种动物相遇,其中一动物比另一动物多走的路程为整数圈,故可设:441t-225t=300x,625t-441t=300y,625t-225t=300z.(x,y,z都为最小整数)
(11)整理上述方程得:x=(18/25)*t;y=(46/75)*t;z=(4/3)*t
(12)为使x,y,z最小,进一步整理得:x=(9/25)*2t;y=(23/75)*2t;z=(2/3)*2t
(13)分析上式可知2t就为25，3，75的最小公倍数,2t=75,t=37.5
(14)代入可得:
猫：225*37.5 = 8437.5m
兔：441*37.5= 16537.5m
狗：625*37.5 = 23437.5m

凭直觉可以理解到一个重要的事实：狗猫兔第一次重逢时所跑过的圈数是不依赖于跑道长度的。因此希望求解的过程先不要把跑道长度的条件混进去。

设猫狗兔在第一次重逢时所跑过的圈数分别为x,y,z
可以求得，狗和猫的速度比为: 5/3:3/5 = 25:9
因此，y=25/9 * x
同样，兔和猫的速度比是: 7/5:5/7 = 49:25
因此，z=49/25 * x
狗猫兔重逢的充要条件是它们所跑的圈数之差是整数，即
y-x = 16/9 * x 是整数 ...........(!)
z-x = 24/25 * x 是整数............(2)
第一次重逢就是要求最小的满足以上(1),(2)的实数x.
x显然是有理数，故可写为既约分数m/n.
由(1)，(2)知m是9和25的倍数，且n是16和24的约数即可。由x的最小性知道，m为9和25的最小公倍数225，n为16和24的最大公约数8。
x=225/8
随之可得：y=625/8, z=441/8

然后把跑道的长度300m代进去即可以得到它们分别跑过的路程：
猫：300 × 225/8 = 8437.5m
狗：300 × 625/8 = 23437.5m
兔：300 × 441/8 = 16537.5m

对不起，先前不小心算错了！
原先“n为16和24的最大公约数4”是错的！16和24的最大公约数应该是8！太粗心了啊！！！！！
现在改了应该没问题了，希望支持哦！

猫、狗等的速度未知，无法求