神马品牌网经典历史架空军事小说:n边闭折线最大自交数公式简证
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/05/09 09:16:48
n边闭折线最大自交数公式简证
广西柳城县实验中学 梁卷明
定理 若n≥4为偶数，则n边闭折线Zn的最大自交数θ0（n）=(n2-4n+2)/2.
这是杨林、王方汉早已得到的公式，这里给以简证.
设Zn某边与其不相邻的n-3边都相交，因n为偶数，则在该边同侧的顶点下标奇偶性必相同（记此结果为①）；如果闭折线Zn上有3条边上自交点个数都达到n-3,由于这三边也两两相交，故知其顶点中必有两个下标奇偶性相异的端点处在这三边中某一边同侧，这与①矛盾，故Zn至多有两条边上自交点个数达到n-3，因而θ0（n）≤[(n-2)(n-4)+2(n-3)]/2=(n2-4n+2)/2.下面构造自交数达到最大的Zn：先将Zn＝A1……An顺次排在“Z”字形的上、下行，且使上下各n/2个，然后再将上行的点Ai与下行的点An-i+1（i=2,4,…,n）交换位置，再顺次连接A1A2……An A1
即得.
参考文献:
1. 杨之,初等数学研究的问题与课题.湖南教育出版社,1993年5月第1版.
2. 王方汉,两类星形及其自交数.初等数学前沿,江苏教育出版社,1995,3.p149-158.
（本文原载《中学数学教学参考》（陕西师大）2002年第6期p53的“成果集锦”专栏【注：本栏短文是由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编的初数研究未发表的新成果，摘编较少的文稿，当不影响全文发表.】）
请问能否进一步简化证明？
广西柳城县实验中学 梁卷明
定理 若n≥4为偶数，则n边闭折线Zn的最大自交数θ0（n）=(n2-4n+2)/2.
这是杨林、王方汉早已得到的公式，这里给以简证.
设Zn某边与其不相邻的n-3边都相交，因n为偶数，则在该边同侧的顶点下标奇偶性必相同（记此结果为①）；如果闭折线Zn上有3条边上自交点个数都达到n-3,由于这三边也两两相交，故知其顶点中必有两个下标奇偶性相异的端点处在这三边中某一边同侧，这与①矛盾，故Zn至多有两条边上自交点个数达到n-3，因而θ0（n）≤[(n-2)(n-4)+2(n-3)]/2=(n2-4n+2)/2.下面构造自交数达到最大的Zn：先将Zn＝A1……An顺次排在“Z”字形的上、下行，且使上下各n/2个，然后再将上行的点Ai与下行的点An-i+1（i=2,4,…,n）交换位置，再顺次连接A1A2……An A1
即得.
参考文献:
1. 杨之,初等数学研究的问题与课题.湖南教育出版社,1993年5月第1版.
2. 王方汉,两类星形及其自交数.初等数学前沿,江苏教育出版社,1995,3.p149-158.
（本文原载《中学数学教学参考》（陕西师大）2002年第6期p53的“成果集锦”专栏【注：本栏短文是由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编的初数研究未发表的新成果，摘编较少的文稿，当不影响全文发表.】）
请问能否进一步简化证明？
你是要问问题还是要搞宣传啊？