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对一类非自然数变量问题的数学归纳法证明

开远市一中 佘维平 661600

（本文发表于北京《数理天地》2000·4）

一 、变量为整数

例1设X∈Z, 求证:( +1) 2k+1 –( –1)2K+1 能被2 k+1 整除，但不能被2 k+2 整除。

证明：设f (x) = ( +1) 2k+1 –( –1)2k+1

ⅰ当X=0时

f(0)=( +1)–( –1)=2,命题成立；

当X=1时

f(1)=( +1)3 –( –1)3 =20=22 ·5,

2 2 ·5能被2 2整除，但不能被2 3整除,故命题成立；

ⅱ设当X=k–1、k（k∈N）时,命题成立，即

f(k–1)=( +1)2k–1 –( –1)2k–1 =2k ·M , f(K)=( +1)2k+1 –( –1)2k+1 =2k+1 ·N

其中M、N均为正奇数，

则当X=k+1时

f(k+1)= ( +1) 2k+3 –( –1)2K+3

=[( +1) k ＋( –1)2][ ( +1) 2k+1 –( –1)2K+1]–

[( –1)2 ·( +1) 2k+1 –( –1)2K+1 ·( +1) 2 ]

=8·f(k)–( +1)2 ·( –1)2 [( +1)2k–1 –( –1)2k–1]

=8·f(k)–4·f(k–1)

=2k+4 N–2k+2 ·M

=2k+2(4N–M)

∵ 4N–M是奇数，∴ f(k+1)能被2 ( k+1)+1 整除，但不能被2 ( k+1)+2 整除，

即n=k+1时命题也成立。

ⅲ 假设当X=k+1、k(k∈Z且k≤0) 时命题成立，即

f(k+1)= ( +1) 2k+3 –( –1)2K+3 =2 k+2 ·P

f(K)=( +1)2k+1 –( –1)2k+1 =2k+1 ·Q，其中P、Q均为负奇数,

则当X=k–1时

f(k–1)=( +1)2k–1 –( –1)2k–1

=[( +1) –2 +( –1)–2][ ( +1) 2k+1 –( –1)2K+1]–

[( –1)–2 ·( +1) 2k+1 +( –1)2K+1 ·( +1) –2 ]

=2·f(k)–( –1)–2 ·( +1)–2 [( +1)2k+3 –( –1)2k+3]

=2·f(k)–2–2·f(k+1)

=2k+4·Q–2k ·p

=2k ·(2Q–P)

∵ 2Q–P是奇数，∴ 2 k (2Q–P)能被2 ( k–1)+1 整除，但不能被2 ( k–1)+2 除，

∴ n=k–1时命题也成立。

由ⅰ、ⅲ知，对任意负整数，命题成立，

综合ⅰ、ⅱ、ⅲ知，对任意整数，命题成立。

评注：此题证明中步骤 ⅲ 使用了倒推归纳法，在用数学归纳法证明整数变量的问题时，这无疑可用于解决变量为负整数的情形。但对一些较为简单的问题，也可考虑其他方法，如例2中第二步的证明，就是通过对变量符号的巧妙转换而完成的。

二、变量为有理数

例2、一个定义在有理数集合Q上的函数f(X)对一切x、y∈Q都有f(X)=f(X)+f(Y),求证：对任意X∈Q，f(X)=X·f(1).

分析：直接证明较难，由于当m、n (n≠0)为互质整数时， ∈Q,故考虑把X分为n(n≠0)、0与-n、 (m∈N)及 几类,这样可用数学归纳法解决第一类情形，其他几类情形便可迎刃而解.

证明：第一步，证明结论对X∈N 成立.

ⅰ 当X=1时

f(1)=1·f(1),结论成立；

ⅱ 设X=k(k∈N)时结论成立，即f(k)=k·f(k),

则当X=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)=(k+1)·f(1)

结论也成立。

由ⅰ、ⅱ知，对X∈N,命题成立。

第二步，证明结论对零与负整数成立。

∵ f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)

∴ f(0)=0=0·f(1)

又∵ f(n)+f(-n)=f[n+(-n)]=f(0)=0,(n∈N)

∴ f(-n)=-f(n)=-n·f(1)

即对零与负整数，结论成立。

第三步，证明当X= （m∈Z,m≠0）时结论成立。

设n∈N,则f(1)=f( + +……+ )=f( )+f( )+……+ f( )=n·f( )

n 个 n 个

∴f( )= ·f(1)

同时，由f( )＋f(－ )＝f(0)＝0有f(- )＝－ ·f(1)

∴ 结论成立。

第四步，证明结论对一切有理数成立。

设m∈N、n∈Z,且n≠0

∵ f( )= f( + +……+ )=m·f( )= ·f(1)

n 个

∴ 对一切有理数X= ,f(X)=X·f(1)成立。

评注：此题由于合理巧妙地划分变量而使数学归纳法得以应用其中，并较简便地使问题求得解决。这对今后解决类似问题时无疑是有借鉴作用的，此外，问题的求解过程体现了分散难点、各个击破的分类思想，充满了数学的策略和美。

2000.2.10.（本文字符数：1941）