柳晓军教授:称球问题

提供两种解法，呵呵

解法一:

第一步：将12个球分为A，B，C三组，每组4个。先称A和B，如果相等，那么好办，此处就不详述这种情况了。如果不相等，那么坏球在A和B的8个球中，C组全为好球，我们假设A>B，再到下一步；

第二步：A组中将A2，A3，A4拿掉，将B2，B3，B4放入其中，即A1，B2，B3，B4为一组，放在天平左边，然后B组中剩下的B1和C中挑3个球（C2，C3，C4）为一组放在天平右边。那么有以下3种结果：
2.1：左边重右边轻，那么坏球为A1或B1，那么进入第三步；
第三步：A1和C中任意一球（C1）称，可能有3种：
3.1：A1比C1重，则A1为坏球；
3.2：A1和C1相等，则坏球为B1，且比好球轻；
3.3：A1比C1轻，不可能，因为我们假设A>B。
2.2：左边与右边相等，那么坏球在被拿掉的A2，A3，A4中，且比好球重，那么进入第三步；
第三步：A2和A3称，可能有3种：
3.1：A2比A3重，则A2为坏球（因为坏球比好球重）；
3.2：A2与A3相等，则A4为坏球；
3.3：A2比A3轻，则坏球为A3。
2.3：左边轻右边重，则坏球只可能在放在左边的B2，B3，B4，且比好球轻，那么进入第三步；
第三步：B2与B3称，可能有3种：
3.1：B2比B3重，则B3为坏球（因为坏球比好球轻）；
3.2：B2与B3相等，则B4为坏球；
3.3：B2比B3轻，则B2为坏球。

在我知道的方法中此方法最容易理解，也是一般人最容易想到的方法。而另外一些高人所想出的方法则实在是令人佩服，比如其中一种方法，它每次天平两边都放4个球，称3次也能将坏球找出来，你信吗？

解法二:

把12个球编成1，2......12号，则可设计下面的称法：

左盘 *** 右盘

第一次 1，5，6，12 *** 2，3，7，11

第二次 2，4，6，10 *** 1，3，8，12

第三次 3，4，5，11 *** 1，2，9，10

每次都可能有平、左重、右重三种结果，搭配起来共有27种结果，但平、平、平的结果不会出现，因为总有一个球是不相等的。同样左、左、左，右、右、右的结果也不回出现，因为根据设计的称法，没有一个球是三次都在左边或右边的。剩下的24种结果就可以判断出哪种情况是哪一个球了。例如：如果结果是平、平、左或是平、平、右，就可判断出是9号球，因为第一次与第二次都没有9号球，唯独第三次有9号球，而第一次与第二次都是平的，只有第三次是失衡的，说明9号球的重量与其它的球不同。可依据此原理判断出其它的各种情况分别是哪个球。（高手的方法只到此处，下面是我的分析结果）

有12个球，而坏球又可能比好球轻也可能比好球重，所以总共有12x2=24种可能，24可能结果如下表：
************ ********** ************ ********** **********
* 可 能 * －* 结 果 * * 可 能 *－* 结 果 *
************ ********** ************ ********** **********
1号球，且重 －左、右、右 1号球，且轻 －右、左、左
2号球，且重 －右、左、右 2号球，且轻 －左、右、左
3号球，且重 －右、右、左 3号球，且轻 －左、左、右
4号球，且重 －平、左、左 4号球，且轻 －平、右、右
5号球，且重 －左、平、左 5号球，且轻 －右、平、右
6号球，且重 －左、左、平 6号球，且轻 －右、右、平
7号球，且重 －右、平、平 7号球，且轻 －左、平、平
8号球，且重 －平、右、平 8号球，且轻 －平、左、平
9号球，且重 －平、平、右 9号球，且轻 －平、平、左
10号球，且重 －平、左、右 10号球，且轻 －平、右、左
11号球，且重 －右、平、左 11号球，且轻 －左、右、平
12号球，且重 －左、右、平 12号球，且轻 －左、右、平

上面的24种结果里面没有一个重复的，也可以把上面的结果反过来当成可能，也可唯一的推出那个球为坏球，证明此方法可行。可见此高手对数学的排列组合运用得极熟！！

高手，佩服！我还试着从理论上去思考为何要如此安排称球顺序，但实在太难，不想也罢！如果想出其原理之精髓，贴出来共享！

首先取8个球，两边各放4个，称。
CASE 1：两边相等(说明剩下4个中有一个坏的)
从剩下4个中取2个，与那8个中取2个，称。
CASE 1.1:两边相等(说明剩下2个中有一个坏的)
从剩下2个中取1个,与那8个中取1个,称.
CASE 1.1.1:两边相等(说明剩下那个有问题)
CASE 1.1.2:两边不等(说明从2个中取的这个有问题)
CASE 1.2:两边不等(说明从4个中取的这2个有问题)
下同CASE 1.1

CASE 2:两边不等(说明这8个中有一个坏的)
(记重的那边为A,四个球为A1,A2,A3,A4;
记轻的那边为B,四个球为B1,B2,B3,B4;
剩下的为C,四个球为C)
左边放A1,A2,B1右边放A3,A4,B2称
CASE 2.1:两边相等(说明A1A2A3A4B1B2不坏)
取B3,C称.
CASE 2.1.1:两边相等(说明B4有问题)
CASE 2.1.2:两边不等(说明B3有问题)
CASE 2.2:左边重(说明A1A2重或B2轻)
左边放A2B2,右边放C,C,称
CASE 2.2.1:左边重(说明A2有问题)
CASE 2.2.2:右边重(说明B2有问题)
CASE 2.2.3:两边相等(说明A1有问题)
CASE 2.3:右边重(说明A3A4重或B1轻)
下同CASE 2.2

解这道题的关键在于读出轻重.如果只读出"等"与"不等"两种结果,最多只能分辨2^3=8个小球.合理利用轻重的判断才是解题的关键!

(但原您能看懂我的过程)

应该这么问吧：有12个球 其中有一个球与其他11个重量不一样（但必须知道是比其它11个坏重还是轻。） 其他外观相同 还有一个没有刻度的天平（只能测量是否平衡） 如何在三次之内把 那个混球找出来？
答案，先分别天平各两边放四个球。情况就好办了。如果前提这个混球是重的。那么些时天平有两种情况，一是混球在天平中，那么重的一边就说明有混球，另一种就是混球不在天平中。那么这时的天平是水平的。分出来之后再把已知有混球的四个球在天平两侧各放两个，重的一侧就是有混球的，再最后把这两个球分别放入两侧一称，重的就是混球了。
同理。前提是轻的也用这个方法。

我想的办法被他们说出来啦～～～～～