按照中国保监会万能:蝴蝶定理怎么证

设弦AB的中点为M，过M 作弦CD，EF，连EC，DF交AB于G，H，则GM=GF。这是蝴蝶定理，下面证明。
※先给出一个关于面积的定理：
△ABC的面积=（1/2）×AB×AC×sinA
证明：设△EGM、△DHM、△MHF、△MCG的面积分别为S1、S2、S3、S4，则
S1=(1/2)ME×MGsin∠EMG＝（1/2）EG×EMsin∠E
S2=(1/2)MH×MDsin∠DMH＝（1/2）MD×DBsin∠D
S3=(1/2)MH×MFsin∠HMF＝（1/2）BF×FMsin∠F
S4=(1/2)MG×MCsin∠GMC＝（1/2）CM×CGsin∠C
其中从∠EMG=∠HMF,∠DMH=∠GMC,∠E=∠D,∠F=∠C
∴sin∠EMG=sin∠HMF，sin∠DMH=sin∠GMC ,
sin∠E = sin∠D, sin∠F = sin∠C
∵（S1/S2）×（S2/S3）×（S3/S4）×（S4/S1）=1
∴｛[(1/2)ME×MGsin∠EMG]/[(1/2)MH×MDsin∠DMH]｝×
｛[（1/2）MD×DBsin∠D]/[(1/2)MH×MFsin∠HMF]｝×
｛[（1/2）BF×FMsin∠F]/[（1/2）CM×CGsin∠C]｝×
｛[(1/2)MG×MCsin∠GMC]/[（1/2）EG×EMsin∠E]｝ ＝1
整理后：
（MG的平方/MH的平方）×（DB×BF）/（EG×CG）=1…①
令(1/2)AB=a,MG=m,MH=n.由相交弦定理：
DB×BF=BH×AH=(a-n)(a+n),EG×CG=(a-m)(a+m)，代入①
并整理得：(am)的平方=(an)的平方,∵a≠0，∴m=n，
即，MG=MH

M是弦EF的中点,过M分别作两条弦AB,CD,连接AC,BD分别交EF于P,Q,求证:M平分PQ.
证明:设圆心与原点重合,半径等于1,这里假设M不与圆心重合,M与圆心重合结论显然成立,则应用Mathematica可得:

Simplify[{m,m',p,p',q,q',p+q,p'+q',2m,2m'}/.Factor[Solve[{m+a b m' a+b, m+c d m' c+d, m'p+m p' 2m m', p+c×a ×p' c+a,m'q+m q' 2m m', q+b×d×q' b+d},{m,m',p,p',q,q'}]]]

因为p'+q'=2 m',故结论成立.实际上,这种证明方法条件可以扩展为:圆O两弦AB,CD所在的直线交于M,M不与圆心重合,过M作一直线与OM垂直,这条直线交AD,BC于P,Q,则M也是PQ的中点.

不好意思，初中生看不懂

根据面积求啊!

哪个蝴蝶定理？有几个呢！

不好意思，我不知道什么时蝴蝶定理。没上过大学啊。