预测2018年房价涨跌:特征向量的作用

来源:百度文库 编辑:神马品牌网 时间:2024/04/29 02:30:46
还有特征值,相似,他们的实际作用是什么

特征向量是数学上线性变换的一个非退化的向量,其方向在该变换下不变。
特征向量的作用:
1、薛定谔方程。
一个变换用微分算子代表的特征值方程的例子是量子力学中的时不变薛定谔方程
HΨE = EΨE
其中H是哈密尔顿算子,一个二阶微分算子而ΨE是波函数,对应于特征值E的特征函数,该值可以解释为它的能量。
2、分子轨道。
在量子力学中,特别是在原子物理和分子物理中,在Hartree-Fock理论下,原子轨道和分子轨道可以定义为Fock算子的特征向量。相应的特征值通过Koopmans定理可以解释为电离势能。在这个情况下,特征向量一词可以用于更广泛的意义,因为Fock算子显式地依赖于轨道和它们地特征值。如果需要强调这个特点,可以称它为隐特征值方程。这样地方程通常采用迭代程序求解,在这个情况下称为自洽场方法。在量子化学中,经常会把Hartree-Fock方程通过非正交基集合来表达。这个特定地表达是一个广义特征值问题称为Roothaan方程。
3、因子分析。
在因素分析中,一个协变矩阵的特征向量对应于因素,而特征值是因素负载。因素分析是一种统计学技术,用于社会科学和市场分析、产品管理、运筹规划和其他处理大量数据的应用科学。其目标是用称为因素的少量的不可观测随机变量来解释在一些可观测随机变量中的变化。可观测随机变量用因素的线性组合来建模,再加上“残差项。
4、惯量张量。
在力学中,惯量的特征向量定义了刚体的主轴。惯量是决定刚体围绕质心转动的关键数据。
5、应力张量。
在固体力学中,应力张量是对称的,因而可以分解为对角张量,其特征值位于对角线上,而特征向量可以作为基。因为它是对角阵,在这个定向中,应力张量没有剪切分量;它只有主分量。

概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错,知识前后紧密联系是线性代数课程的特点,故考生应充分理解概念,掌握定理的条件、结论、应用,熟悉符号意义,掌握各种运算规律、计算方法,并及时进行总结,抓联系,使学知识能融会贯通,举一反三,根据考试大纲的要求,这里再具体指出如下:

行列式的重点是计算,利用性质熟练准确的计算出行列式的值。

矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外,主要也是运算,其运算分两个层次,一是矩阵的符号运算,二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中,首先进行矩阵的符号运算,将矩阵方程化简,然后再代入数值,算出具体的结果,矩阵的求逆(包括简单的分块阵)(或抽象的,或具体的,或用定义,或是用公式A -1= 1 A*,或 A用初等行变换),A和A*的关系,矩阵乘积的行列式,方阵的幂等也是常考的内容之一。

关于向量,证明(或判别)向量组的线性相关(无关),线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关(无关)的概念及几个相关定理的掌握,并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。

向量组的极大无关组,等价向量组,向量组及矩阵的秩的概念,以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。

在Rn中,基、坐标、基变换公式,坐标变换公式,过渡矩阵,线性无关向量组的标准正交化公式,应该概念清楚,计算熟练,当然在计算中列出关系式后,应先化简,后代入具体的数值进行计算。

行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容,它们不是孤立隔裂的,而是相互渗透,紧密联系的,例如∣A∣≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r(A)=n(满秩阵)〈===〉A的列(行)向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有(唯一)解〈===〉A=P1 P2 …PN,其中PI(I=1,2,…,N)是初等阵〈===〉r(AB)=r(B)<===>A初等行变换

I〈===〉A的列(行)向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件,故对考生而言,应该认真总结,开拓思路,善于分析,富于联想使得对综合的,有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。

关于特征值、特征向量。一是要会求特征值、特征向量,对具体给定的数值矩阵,一般用特征方程∣λE-A∣=0及(λE-A)ξ=0即可,抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值(的取值范围),可用定义Aξ=λξ,同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用,二是有关相似矩阵和相似对角化的问题,一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵,反过来,可由A 的特征值,特征向量来确不定期A的参数或确定A,如果A是实对称阵,利用不同特征值对应的特征向量相互正交,有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2(λ2≠λ1)对应的特征向量,从而确定出A。三是相似对角化以后的应用,在线性代数中至少可用来计算行列式及An.

将二次型表示成矩阵形式,用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个:一是化二次型为标准形,这主要是正交变换法(这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法),在没有其他要求的情况下,用配方法得到标准形可能更方便些;二是二次型的正定性问题,对具体的数值二次型,一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别,而抽象的由给定矩阵的正定性,证明相关矩阵的正定性时,可利用标准形,规范形,特征值等到证明,这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。