神马品牌网上班族怎样快速瘦身:征求最简证明
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/05/04 14:57:38
的确，排序，数学归纳法可证明，函数凹凸性更简单，有没有更好，更美的证明呢？
所有楼上的，问主没有那么白痴啦！别人要求证正数的算术平均数大于等于几何平均数，不是两个数的算术平均数大于等于几何平均数！
这个我看到过两种证明方法，一个要用排序不等式，一个要用数学归纳法（证n=2时成立，然后就可以证n=4，n=8,……再证n=3，n=5 6 7……很奇怪的思路）。
先写写比较简单的，排序不等式：
令X=(a1+a2+a3+…+an)/n，Y=(a1*a2*a3*…*an)^(1/n)
设bi=ai/Y 那么b1*b2*b3*…*bn=1
于是我又可以设b1=x1/x2,b2=x2/x3……,bn=bn/b1
那么b1+b2+…+bn=(a1+a2+a3+…+an)/Y=x1/x2=+x2/x3+…+bn/b1>=x1*(1/x1)+x2*(1/x2)+…+xn*(1/xn)=n
于是X=(a1+a2+a3+…+an)/n >=Y，完了。
排序不等式的参考资料和证明在WIKI上有：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%92%E5%BA%8F%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F
另外数学归纳法……
过程可以看这里（稍微麻烦一些）
http://www.cut-the-knot.org/Generalization/means.shtml
A,B为正数 ^为平方
(根号下A)^+(根号下B)^>=2(根号下AB)
所以 A+B>=2(根号下AB)
即 (A+B)/2>=根号下AB
当且仅当A=B时,(A+B)/2=根号下AB
看懂了吧,数学书P5
两边先平方,然后相减就可以得出答案啦~~~
证明：
a,b ∈ R＋ ；
(a-b)^2 >= 0
----> a^2 + b^2 >= 2ab
----> a^2 + 2ab + b^2 >= 4ab
----> (a + b)^2 >= 4ab
----> (a + b)/2 >= (ab)开方
证毕。
够详细的吧？