我老板是阎王:数列题:

来源:百度文库 编辑:神马品牌网 时间:2024/03/29 04:04:47
已知:数列an=根号(1*2)+根号(2*3)+……+根号[n(n+1)] (n属于正整数)
求证:n(n+1)/2<an<(n+1)^2/2对于n属于正整数恒成立。

an>根号(1*1)+根号(2*2)+……+根号(n*n)=1+2+3+……+n=n(n+1)/2 即n(n+1)/2<an
an<(n+1)^2/2要用数学归纳法证:
甲:当n=1时an=根号2 (n+1)^2/2=2 此时a1<(1+1)^2/2
乙:设当n=k时ak<(k+1)^2/2欲证设当n=(k+1)时a(k+1)<〔(k+1)+1〕^2/2
丙:a(k+1)=ak+根号〔(k+1)*(k+2)〕
ak<(k+1)^2/2 (k+2)^2/2-(k+1)^2/2=(2k+3)/2>根号〔(k+1)*(k+2)〕 所以 a(k+1)<〔(k+1)+1〕^2/2
由甲乙丙三步可得:an<(n+1)^2/2
综上所述n(n+1)/2<an<(n+1)^2/2对于n属于正整数恒成立
证毕