弹珠传说小枫重生:一个数学问题

分成3组、每组4个来称：
1、取两组分别放在天平两边，如果平衡接下来就好做了；如果不平衡，假设轻的一边的标为p,重的一边的标为q。
2、取2个p一个q放在天平左边，2个p一个q放在天平右边，这时会有一个轻重关系。如果平衡则好办；如果左边重，则左边的2个p和右边的q都不可能是坏球；如果右边重，则左边的q和右边的2个p都不可能是坏球。
3、对于上面两种不平衡的情况，都容易办，取2个p放在天平两边称一下就知道了。
分三组：1234 5678 9ABC
第一次 如果 1234 = 5678， 则9ABC用两次，配合1234，5678中的标准球，肯定能出来。
第一次 如果 1234 > 5678 则9ABC都是标准的
第二次 5239和1ABC，
1 如果 5234 = 1ABC
说明678有问题，因为之前1234 > 5678，所以结果球比标准球轻，
第三次 称 6和7，如果想等则结果是8，如果6〉7则为7，如果6<7则为6，END
2 如果 5234 〉1ABC
说明234有问题，而且结果球比标准球重
第三次 称 2和3，如果想等则结果是4，如果2〉3则为2，如果2<3则为3，END
3 如果 5234〈1ABC
说明1跟5有问题，因为ABC是标准球，只有1跟5互换导致天平反向
第三次 称1跟A，相对则为5（比标准球轻），不等则为1（比标准球重）

无砝码天平3次称出12个小球中质量异常球问题

原题为：
有十二个小球特征相同，其中只有一个质量异常，要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个质量异常的球找出来。

解：
设标准小球质量为w，并代表任意一个正常小球，将12个小球依次编号为a1,a2,...,a12，分组为：
a1,a2 ,a3 ,a4 为A1组
a5,a6 ,a7 ,a8 为A2组
a9,a10,a11,a12 为A3组

==（第一次）1选定任意2组--取A1,A2进行比较，如果
1 A1=A2 则A3组为异常球组
重新分组为:
B1:a9 a10
B2:a11 w
B3:a12 w

====（第二次）取B2 B3 任意1组--B2 与 B1 进行比较，如果
1.1 B1=B2 则 B1 B2 为正常组，B3(a12,w)为异常组，异常球为a12
1.2 B1 != B2 B3(a12,w) 为正常组,以B1<B2为例说明:
表达式 EXP0:a9+a10 < a11 +w

========（第三次）取a9 a10 进行比较,如果
1.2.1 a9 = a10 则 a11 为异常球
1.2.2 a9 != a10 则 a11 为正常球，根据 EXP0,得 a9+a10 <2w
所以异常球质量小于正常球，a9 与 a10 轻者即为异常球

2 A1 != A2,则A3(a9,a10,a11,a12)为正常组;以A1<A2说明：
得表达式1: EXP1: a1+a2+a3+a4<a5+a6+a7+a8
重新分组为:
B1:a1,a2,a3
B2:a4,a5,a6
B3:a7,a8,w

====（第二次）取B3与B2比较
2.1 B3=B2
a4=a5=a6=a7=a8=w 根据 EXP1 得
a1+a2+a3<3w 得异常球质量小于标准球

========（第三次）取a1 a2 进行比较,如果
2.1.1 a1 = a2 则 a3 为异常球
2.1.2 a1 != a2 则 a3 为正常球，a1 与 a2 轻者即为异常球

2.2 B3>B2 则B1为正常组
a1=a2=a3=w 根据 EXP1 得
3w+ a4 < a5 + a6 + a7 + a8
(B3<B2) a4 + a5 + a6 < a7 + a8 + w
相加 3w+2a4 + a5 + a6 < a5 + a6 + 2a7+2a8 + w
2a4 < a7+ a8
========（第三次）取 a7 a8 比较
2.2.1 a7 =a8 a4 为异常球,质量小于标准球
2.2.2 a7!=a8 a4 为正常球,可知 2w < a7+a8,得a7 a8 中重者为异常球

2.3 B2<B3 则B1为正常组
a1=a2=a3=w 根据 EXP1 得
3w+ a4 < a5 + a6 + a7 + a8
(B2<B3) a4 + a5 + a6 > a7 + a8 + w
转换: -a4 - a5 - a6 < - a7 - a8 - w
相加 3w - a5 - a6 < a5 + a6 - w
a5 + a6 > 2w
可知 异常球质量大于标准球
========（第三次）取 a5 a6 比较
2.3.1 a5 a6 中重者为异常球

由上述各节可知，a1,a2,...,a12 为异常球的概率均为1/12。