神马品牌网变相怪杰漫画:数列问题
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/05/02 00:20:25
数列{an}中a1=1 an*an=a(n+1)*an-1
求证 a(n+1)>根号（2n+1）
求证 a(n+1)>根号（2n+1）
楼主，我刚做过这道题，原题里面给的是(a1)=2，而不是(a1)=1，否则前几项就已经都不符合了；而求证的是(an)>(2n+1)^(1/2)，当然，由于数列{an}为递增数列，有(an)>(2n+1)^(1/2)当然就证明了(an+1)>(2n+1)^(1/2)
下面我给出(a1)=2时的解答过程：
由(an)^2=(an+1)(an)-1，显然(an)不为0，于是得(an+1)=(an)+1/(an)
然后用数学归纳法：当n=1时，(a1)=2>(2*1+1)^(1/2)，不等式成立
假设n=k时，(ak)>(2k+1)^(1/2)
当n=k+1时，(ak+1)^2=(ak)^2+1/[(ak)^2]+2>2k+3+1/[(ak)^2]>2(k+1)+1
于是n=k+1时，(ak+1)>[(2k+1)+1]^(1/2)成立
综上由数学归纳法可知，(an)>(2n+1)^(1/2)，证毕
[注]a^b表示a的b次方
(am)、(am+h)分别表示数列{an}的第m项和第m+h项
*表示乘号
我没看明白你的reccurence equation是a_n^2=a_(n+1)*a_n -1还是*a_(n-1)
如果是前者的话
就可以写成a_(n+1)= (a_n^2+1)/a_n
然后用数学归纳法
分析一下(x^2+1)/x的单调升减区间就可以了
you should do your work by youself !my son!