经济学人 2017年1月:求证:在直径为d的圆的内接矩形中,面积最大的是正方形,这个正方形的面积等于1/2d²

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在圆内任意画一矩形ABCD,画任意一对角线为AC,作BE垂直于AC,垂足为E,
1,矩形ABCD的面积等于2倍的三角形ABC的面积,=2*1/2*AC*BE=AC*BE
2,根据直角所对的弦为直径,那么AC为直径AC=d,
矩形面积 Sabcd=BE*d,即当BE最大时此矩形的面积最大
3,根据圆中所有的弦,直径最大,所以当E在圆点BE最大,即BE=1/2d
所以最大Sabcd=1/2d*d
4,已证明矩形面积最大时E点在圆心,E点在圆心就不难证明此矩形为正方形了吧,
综上所述,得证!

假设正方形ABCD的边长为a,p点到A的距离为1,到B点的距离为√7,到C点的距离为3,现过点分别向AB、AC做高h1,h2立方程组如下:
h1^2+h2^2=1 (1)
h2^2=7-(a-h1)^2 (2)
h1^2=9-(a-h2)^2 (3)将(1)代入(2)、(3)
得:h1=(a^2-6)/2a h2=(a^2-8)/2a 在代入(1)
解得方程组:a^2=8+√14 或a^2=8-√14
因为P在正方形内,所以有 3<a<1+3=4,所以9<a^2<16
故正方形的面积为8+√14

假设正方形ABCD的边长为a,p点到A的距离为1,到B点的距离为√7,到C点的距离为3,现过点分别向AB、AC做高h1,h2立方程组如下:
h1^2+h2^2=1 (1)
h2^2=7-(a-h1)^2 (2)
h1^2=9-(a-h2)^2 (3)将(1)代入(2)、(3)
得:h1=(a^2-6)/2a h2=(a^2-8)/2a 在代入(1)
解得方程组:a^2=8+√14 或a^2=8-√14
因为P在正方形内,所以有 3<a<1+3=4,所以9<a^2<16
故正方形的面积为8+√14