米兰理工大学 2018录取:数学奥数题

一、 选择题（共8小题，每小题4分，计32分。每小题只有一个选项是符合题意的。）
1、下列说法正确的是 （ ）
A、2的相反数是 B、2的相反数的-2 C、2的绝对值的 D、2的平方根是
2、在实数2， 中，有理数的个数是 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

3、下列各式计算正确的是 （ ）
A、 B、 C、 D、

4、在由四个小正方形拼接组成的图形中，移动其中一个小正方形，使其拼接成一个中心对称图形，可拼成的不同图形的个数是 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5、如图，边长为2的等边三角形ABC中，以顶点A为圆心，以高AD为半径画弧，分别交AB于点E、AC于点F，则 的长为 （ ）
A、 B、
C、 D、
6、气象工作人员将我市某一天的平均温度随时间变化的图象绘制如图，观察图象可知下列说法错误的是 （ ）

A、这一天4时温度最低，14时的温度最高；
B、这一个的最大温差是20℃；
C、这一个中经历了两次升温过程；
D、人体感觉最舒适的温度是20℃
左右，因此，这一天温度最舒适
的时间是9时和17时。
7、一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得到的利息要交纳20%的利息税。已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息为360元，问该储户存入的本金为（ ）
A、20000元 B、15000元 C、10000元 D、2000元
8、如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD落在AB的边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F则△CEF的面积为
A、4 B、6 C、8 D、10 （ ）

二、 填空题（共12小题，每小题4分，计48分。只须将结果填在题后的横线上）
9、如果 ，那么 。www.1230.org 初中数学资源网 命题大赛
10、函数 中，自变量x的取值范围是 。
11、下图表示一个简单的数值运算程序。当输入x的值为-1时，则输出的数值为 。

12、用科学记数法把0.02008（保留三个有效数字）记成 。
13、方程 的根是 。
14、已知方程组 有两个不相等的实数解，则k的取值范围是 。
15、观察下列数表，分析数表中所反映的规律，猜想第n行第n列的交叉点上的数应为 。（用含n的代数式表示，n为正整数）。

1 2 3 4 5 … 第一行
2 3 4 5 6 … 第二行
3 4 5 6 7 … 第三行
4 5 6 7 8 … 第四行
5 6 7 8 9 … 第五行
… … … … … … …

16、如图，点P是反比例函数 上的一点，
PD⊥x轴于点D，则△POD面积为 。
17、某商品的进价是800元，标价为1100元，
要求该商品以利润率不低于10%的售价
打折出售，那么售化，货员最低只能将
商品打 折出售。

18、六个等圆摆成下列两种形状，它们两两相切，连心线分别为平形四边形和等边三角形，那么两图中阴影部分的面积S、P的关系是 S P（填“<”、“>”、或“=”）

19、一块三角形的玻璃被某同学不小心打碎成三块（如图），现在该同学要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，他应带第 块去配。

20、如图，矩形ABCD中，AD=a, AB=b,要使BC边上至少存在一点P，满足△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a、b之间应满足的关系是 。

以下各题均为解答题，解答需要写出文字说明、演算步骤或推理过程。

三、（共3小题，其中第21题5分，第22题6分，第23题7分，计18分）
21、化简：

22、在数轴上表示数a的点到表示2的点的距离是1，且（1-a）z+4=0关于z的一元一次方程，若|2x+y-a|+(x+1)2=0,求代数式（3x2-y）x值。

23、某校把一块近似于直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=900，BC=60m,∠A=300。
（1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路线，并求出最短路线CE的长（结果保留整数）。
（2）若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为50元/米，水渠路线应如何设计才能使造价最低，
请你画出水渠路线，并求出最低造价。

四、（共3小题，其中第24题8分，第25题9分，第26题10分，计27分）

24、如图，已知在△ABC，AB=AC，∠BAC=1200,AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F。求证：BF=2CF。

25、如图，∠PAQ是直角，半径为5的⊙O与AP相切于点T,与AQ相交于两点B、C。
（1）求证：BT平分∠OBA；
（2）若已知AT=4,求AB。

26、某研究性学习小组，为了了解本校初一学生一天中做家庭作业所用的大致时间（时间以整数记，单位：分钟），对本校初一学生做了抽样调查，并把调查得到的所有数据（时间）进行整理，分成五个时间段，绘制成统计图（如图所示）请结合统计图中提供的信息，回答下列问题：
（1）这个研究性学习小组所抽取样本的容量是多少？
（2）在被调查的学生中，一天做家庭作业所用的时间超过120分钟（不包括120分钟）的人数占被调查学生的百分之几？
（3）这次调查得到的所有数据的中位数落在了五个时间段中的哪一段内？

五、（共2小题，其中第27题12分，第28题13分，计25分）
27、如图，已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C,在射线PA上截取PD=PC，连结CD并延长交O于点E。
（1）求证：∠ABE=∠BCE；
（2）当点P在AB的延长线上运动时，判断sin∠BCE的值是否随点P位置的变化而变化，提出你的猜想并加以证明。

28、某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了调查，结果如下：每件商品售价M〔元〕与时间t〔月〕的关系可用一条线段上的点来表示〔如图甲〕；每件商品的成本Q〔元〕与时间t〔月〕的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示〔如图乙〕。

（说明：图甲、乙中的每个实心黑点所对应的坐标分别指相应的月份的售价和成本）

请你根据图象提供的信息回答：
（1） 每件商品在3月份出售时的利润（利润=售价—成本）是多少元？
（2） 求图乙中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系（不要求写自变量的取值范围；
（3） 你能求出三月份每至七月份每件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系吗？（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）。若该公司共有此种商品3万件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？

（题目已完，下面是参考答案）
参考答案
一、 选择题：
1. D 2. C 3. A 4.B 5.B 6.C 7.A 8.C
二、填空题：
9. 10. 11. -4 12. 13. -2或3 14. 15. 2n-1 16. 1 17. 八 18. S=P 19.Ⅲ 20.
三、解答题：
21.解：原式= ……………………………………（2分）
= …………………………………………………（3分）
= ……………………………………………………………（5分）
22.解：依题意可知： |a-2|=1 ∴a=1或a=3………………………………（1分）
当a=1时，（1-a）z+4=0不是关于a的一元一次方程，
∴a=1不合题意，舍去。………………………………………………（2分）
将a=3代入（1-a）z+4=0,解得z=2…………………………………（3分）
又由|2x+y-a|+(x+1)2=0,得x=-1,y=5………………………………（4分）
∴ ………………………………………（6分）
23、解：（1）最短路线是线段CE.（连结CE）……………………………（1分）
∵CE为Rt△ABC斜边上的中线，在Rt△ABC中，∠A=300,BC=60米，AB= （米） ∴CE= AB=60(米) ……………（3分）
（2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB垂直，
如图所示，CD⊥AB …………………………………………… （4分）
在Rt△BCD中，∠B=600,BC=60米，CD=BCsin600=60 （米）
造价：50×51.96=2598（元）…………………………………………（6分）
答：（略）……………………………………………………………（7分）
24、证明：连结AF，………………………………………（1分）
∵ EF 垂直平分AC，∴AF=CF…………………（2分）
∴∠FAC=∠C=300,∠BAF=1200-300=900……… （4分）
∴△BAF为直角三角形…………………………… （5分）
又∵∠B=300………………………………………… （6分）
∴ BF=2AF=2CF……………………………………… （8分）
25、（1）证明：连结OT,则OT⊥AP且OB=OT………………(2分)
∴ ∠OBT=∠OTB
又∵∠ABT+∠ATB=900,∠OTB+∠ATB=900…(3分)
∴∠ABT=∠OBT
∴∠OBT=∠ABT，即BT平分OBA…………(4分)
（2）作OD⊥B C于D点，则OD=AT=4，且OD平分BC，…………（5分）
在Rt△OBD中，由OB=5，OD=4，可知BD=3，BC=2BD=6……（6分）
根据切割线定理：AT2=AB×AC=AB(AB+BC),即42=AB(AB+6) …（7分）
解得：AB=2或AB=-8（舍去） AB的长为2………………………（9分）

26、解：（1）样本容量x=3+4+6+8+9=30（人）………………………………（3分）
（2）一天做家庭作业时间超过120分钟的人数为：8+9+4=21……（7分）
占被调查人数的70%
（3）中位数落在120.5-----150.5这一时间段中。 ………………（10分）
www.1230.org 初中数学资源网 命题大赛
27、（1）证明：∵PD=PC,∴∠PCD=∠PDC ……………………………（1分）
又∵∠PDC=∠E+∠ABE , ∠PCD=∠BCE+∠BCP,
且∵PC切O于点C， ∴ ∠PCB=∠E ……………………（3分）
∴∠ABE=∠BCE ……………………………………………（5分）
（2）证明：连结AE ∵AB是O的直径，∴∠AEB=900 …………（6分）
由（9）可知∠BCE=∠ABE，又∵∠BCE=∠EAB
∴∠EAB=∠ABE=450 …………………………………………（7分）
∴∠BCE=∠EAB=450 ∴sin∠BCE=sin450= (定值)……（9分）
即：P在AB的延长线上运动时，sin∠BCE的值不随点P位置
的变化而变化，始终是 。…………………………………（11分）
28、解：（1）6-1=5（元）即每件商品在三月份出售时的利润为5元。………（3分）
（2）3—7月份每件商品的成本呈抛物线状，
顶点为（6，4）且图象过（3，1）∴设Q=a(t-6)2+4………………(4分)
图象过（3，1），∴a(3-6)2+4=1,解得a=－ ……………………………（5分）
∴ Q=－ 即Q= …… ……………………(6分)
(3) 3---7月份：设M与t的关系为M=kt+b ……………………………（7分）
∵线段过（3，6）、（6，8）
∴ 解得： ∴M= ………………（8分）
又∵W=M－Q ∴W= －（ ）= ……（10分）
∴ t=5时，利润最小，每件 元。
∴30000× =110000=11（万元）
答：30000件商品一个月内售完，至少获利11万元。…………………（13分）

www.shuxue.com.cn