帕米拉.安德森裸戏:数学天才（在代数方面）请进

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代数式求值问题是初中数学知识结构中的一个重要板块.对于代数式中字母的值是已知的或能根据已知条件容易求出的情况,学生往往掌握的较好;而对于代数式中字母的值求出比较麻烦甚至无法求出时,学生往往感到解题吃力或无法下手.其实,如果我们能从题目中的已知条件出发,挖掘出已知条件与待求的代数式之间的关系,进行灵活变形,代入,就可简化问题,获得简捷解法.下面对解代数式求值问题的几种方法进行整理与分类:

数值代入法:
当代数式中字母的值是已知的或能根据已知条件很容易求出,而且这个数值代入代数式后也容易计算时,可以采用数值代入法.
例1:已知|a+3|+(b-1)2=0,求代数式+的值.
解:∵|a+3|≥0,(b-1)2≥0,且|a+3|+(b-1)2=0,
∴a+3=0,b-1=0,即a=-3,b=1,
∴+=+=-+2=
说明:本题求a,b的值时,运用了"若干个非负数的和为零,则每个非负数都是零".
例2:已知x=3是关于x的方程ax2-2x-6=0的解,求代数式4a2+a-3的值.
解:∵x=3是关于x的方程ax2-2x-6=0的解,
∴9a-6-6=0,解得a=,
当a=时,4a2+a-3=4()2+-3=.
说明:由于x=3是方程的解,故可将x=3代入方程,求出a的值.

韦达定理代入法:
当代数式中字母是某个已知一元二次方程的两个根,但题目要求不解方程求代数式的值,或可以解出未知数的值,但代入后很难求出代数式的值时,可以利用韦达定理及公式变形,求得代数式的值.
例3.已知a,b是一元二次方程x2-x-1=0的两个根,不解方程,求的值.
解:由题意得a+b=1,ab=-1,则+==-3
又· =1,故知与是方程y2+3y+1=0的两根,
解的=
说明:本题还可由=
而得解.
例4.设x1,x2是二次方程x2+x-3=0的两个根,那么x13-4x22+19的值是( )(1996年全国初中数学竞赛试题)
A. –4 . B. 8 . C. 6 . D. 0 .
解:∵x1,x2是二次方程x2+x-3=0的两个根,
∴x1+x2=-1,x1 x2=-3,
∴x12+x22=( x1+x2)2-2 x1 x2=7
设A= x13-4x22+19,B= x23-4x12+19
则A+B= x13+ x23-4 (x12 + x22)+38
=(x1+x2)[( x1+x2)2-3x1 x2]+10=0,
B= x13- x23-4 (x22 - x12)
= (x1-x2)[( x1+x2)2-x1 x2]+4(x1+x2) (x1-x2)
=(x1-x2)(1+3-4)=0
∴A=(0+0)=0,故选D.
说明:

参数代入法:
当给定的条件无法确定字母的值,但能确定各字母之间的比例关系时,可以采用参数代入法(又称比值法).解题的思路是:设比例中的每一份为一个参数(如k),则待求式中的各字母都可以表示为含k的一次式,这样就可以达到消元的目的,从而解出代数式的值.
例5.若x : y : z=4 : 3 : 2,求的值
解:由x : y : z=4 : 3 : 2,可设===k
∴x=4k,y=3k,z=2k
∴===2.
说明:本题还可以把原比例式转化为:==,==,再由比例的等比性质,得=,即==2.可以看出,参数代入法是一种以简驭繁的方法,能使解决问题的过程大大简化.

整体代入法:
例6.已知x2+xy+3y2=-5,求代数式(9x2+3xy+6)-(7x2-6y2+xy-5)的值.
解:(9x2+3xy+6)-(7x2-6y2+xy-5)
=9x2+3xy+6-7x2+6y2-xy+5
=2 x2+2xy+6 y2+11
=2(x2+xy+3y2)+11
当x2+xy+3y2=-5时,原式=2(-5)+11=1.
说明:本题只给出x与y之间关系的一个式子,无法求出x,y的值,因此可将原式化简,使之含有因式x2+xy+3y2,故可用整体代入.

归一代入法:
当给定的方程的个数少于未知数的个数时,我们知道这是无法解出具体未知数的值.这时我们可以用同一个未知数的一次式代替其他未知数,这样就达到消元的目的,再根据题意,解出代数式的值.这种方法,我们称为归一代入法.
例7.若x+y+z=3y=2z,求的值.
解:依题意得

①+②得2x+2y+2z=3y+2z,即y=2x, ④
把④代入③得2z=6y,即z=3y,
∴x+y+z=6x,
∴==
倒数法:
当已知条件和待求分式的分母都是多项式,分子都是单项式时,可以考虑待求分式的倒数,从已知的各个条件倒数中是否可得到待求分式的倒数的值.
例8.已知a,b,c为实数,且=,=,=,求的值.
解:显然a,b,c均不为0.
由已知可得:=3,=4,=5,
即+=3,+=4,+=5,
∴++=6
又∵=++=6
∴=

配方法:
这种方法比较适用于从条件中可得到a+的值,而待求式中含有形如a2+,a3+的求值问题.
由配方法可以得到:a2+=(a+)2-2,
a3+=(a+)(a2-1+)=(a+)[(a+)2-3]
易见,代入a+的值后,可求得上述代数式的值.
例9.已知a2-3a+1=0,求a3+的值.
解:显然a不为0.
∵a2-3a+1=0
∴a+=3
∴a3+=(a+)(a2-1+)=(a+)[(a+)2-2-1]
=3(32-2-1)=18
例10.若x+=4,求的值.
解:显然x不为0.
则=

平方代入法:
例11.已知a+=7 ,求a - 的值.
解:∵(a - )2=(a+)2-4=(7 )2-4=3
∴a - =±3
像例11的已知条件与待求式之间相差第二项的符号,若能引导学生思考(a+)2与(a - )2之间仅差一个常数,就可用平方代入法,通过平方代入法求得待求式的平方后的值,在开方即求得待求式的值.
关系代入法:
例12.若-= ,求

换元法
例13.若x+=3,求x4+的值.
解:设=y,则由题意得x+y=3,xy=1,x4+= x4+y4
=(x2+y2)2-2x2y2=[(x+y)2-2xy]2-2x2y2=(32-2)2-21=47.

什么样的代数式啊