魔界降临终极宝石碎片:几道数学题

（1）取G在AC上使AG：GC=2
由题意及平行截割定理易证AB//GF及EG//CD
且FG=(1/3)AB=1，EG=(2/3)CD=2
而EF=根号7
由余弦定理得
cos角FGE=-1/2
故角FGE=120度
即FG与GE所成角为60度
（而不是120度，因为直线之间所成的角不超过90度）
而AB//FG，CD//GE，故AB与CD亦成60度
（2）有点难~设E在SB上，F在SA上，G在SD上
只要设法证明GE垂直于面SAC
事实上，因SA垂直于面CEFG，故
SA垂直于GE……（1）
另一方面，因三角形SAD与SAB全等，对比两个三角形知FE=FG（因为在SAB中，FE为SA的垂线；SAD中，FG也是SA的垂线，且两三角形中F的位置一致），进而知EC与GC也相等
故CEFG为筝形，易证
CF垂直于GE……（2）
因SA，CF都在面SAC上，综合（1）（2）知
GE垂直于面SAC，故GE垂直于SC
（3）显然这是个直角三角形，设直角顶点为C(0,0),A(0,3),B(4,0)，内切圆半径为(3+4-5)/2（这是直角三角形内切圆半径公式）=1，故设P(x,y)，则
(x-1)^2+(y-1)^2=1
S=x^2+y^2+(x-4)^2+y^2+x^2+(y-3)^2
=3x^2+3y^2-8x-6y+25
=3(x-1)^2+3(y-1)^2+19-2x
=3+19-2x=22-2x
而注意到x在[0,2]中（因为P(x,y)在圆(x-1)^2+(y-1)^2=1上）
故S在[20,22]中（不知道我有没有算错，总之思路是这样的没错啦~）
（4）在这里不妨设a,b>0不影响题目，那么
显然，这两圆的方程分别为
(x-R1)^2+(y-R1)^2=R1^2
(x-R2)^2+(y-R2)^2=R2^2
因为(a,b)均在两圆上，故均有
(a-R1)^2+(b-R1)^2=R1^2
(a-R2)^2+(b-R2)^2=R2^2
故R1,R2为关于r的方程
(a-r)^2+(b-r)^2=r^2的两根
方程变形为
r^2-(2a+2b)r+(a^2+b^2)=0
由韦达定理知R1R2=a^2+b^2

呼~终于搞定啦~
希望您满意

不好意思我是学文的

Sorry,I can't help you.