广东商学院旧校徽:数学问题

1^n+2^n+3^n+4^n=(5-1)^n+(1)^n+(5-2)^n+(2)^n
(5-1)^n=5*某数+(-1)^n
(5-2)^n=5*某数+(-2)^n
当n是奇数时
5整除1^n+2^n+3^n+4^n
当n是偶数时(n=2k)(1)^k+(4)^k当且仅当k是1 3 5....
时(4)^k个位为4
所以当4不整除n时
5整除1^n+2^n+3^n+4^n

个位数都是按照4循环的：
1^(4k + 1) .....1
2^(4k + 1)......2
3^(4k + 1)......3
4^(4k + 1)......4
1 + 2 + 3 + 4 = 10

1^(4k + 2) .....1
2^(4k + 2)......4
3^(4k + 2)......9
4^(4k + 2)......6
1 + 4 + 9 + 6 = 20

1^(4k + 3) .....1
2^(4k + 3)......8
3^(4k + 3)......7
4^(4k + 3)......4
1 + 8 + 7 + 4 = 20

1^(4k + 4) .....1
2^(4k + 4)......6
3^(4k + 4)......1
4^(4k + 4)......6
1 + 6 + 1 + 6 = 12

所以：n 为 4 的整数倍之外的数均可

1^n的个位数总是1,2^n的个位数随n由小到大变的个位数
分别是2,4,8,6,2...,3^n的个位数分别为3,9,7,1,3...,
4^n的个位数分别是4,6,4,6.....
而能被5整除的数的个位数只能是0或5,将1^n,2^n,3^n,4^n的个位数相加个位数为0的有
1+4+9+6,1+2+3+4和1+8+7+4,
所以N=4K+2,或4K+3,或4k+1（k是自然数0，1，2...）

1^n+2^n+3^n+4^n=(5-1)^n+(1)^n+(5-2)^n+(2)^n
(5-1)^n=5*某数+(-1)^n
(5-2)^n=5*某数+(-2)^n
当n是奇数时
5整除1^n+2^n+3^n+4^n
当n是偶数时(n=2k)(1)^k+(4)^k当且仅当k是1 3 5....
时(4)^k个位为4
所以当4不整除n时
5整除1^n+2^n+3^n+4^n

1^n的个位数总是1,2^n的个位数随n由小到大变的个位数
分别是2,4,8,6,2...,3^n的个位数分别为3,9,7,1,3...,
4^n的个位数分别是4,6,4,6.....
而能被5整除的数的个位数只能是0或5,1^n一定是1 2^n+4^n=偶数 3^n=奇数 1^n,2^n,3^n,4^n的个位数相加个位数只能为0
将1^n,2^n,3^n,4^n的个位数相加个位数为0的有1+4+9+6,1+2+3+4和1+8+7+4

所以N=4K+2,或4K+3,或4k+1（k是自然数0，1，2...）

--------------------------------------------------------------------------------

1^n+2^n+3^n+4^n=(5-1)^n+(1)^n+(5-2)^n+(2)^n
(5-1)^n=5*某数+(-1)^n
(5-2)^n=5*某数+(-2)^n
当n是奇数时
5整除1^n+2^n+3^n+4^n
当n是偶数时(n=2k)(1)^k+(4)^k当且仅当k是1 3 5....
时(4)^k个位为4
所以当4不整除n时
5整除1^n+2^n+3^n+4^n