神马品牌网长治教育平台登录帐号:高一数列
来源：百度文库 编辑：神马品牌网 时间：2024/05/05 05:41:53
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各项均为正数的数列{an}满足a[n+1]=(a[n])^2+2a[n]*n+n^2-n-1
(1)若a[1]=1，写出a[2]，a[3]，a[4]
(2)若a[1]>=1，求证(1/(1+a[1]))+(1/(2+a[2]))+(1/(3+a[3]))+...+(1/(n+a[n]))=<1
第一问我会求...
第二问，老师给个提示a[n+1]+n+1=(a[n]+n)^2，a[n]+n>=2
然后就不会了。。。麻烦大家帮忙看一下，然后给出比较详细的解答
谢谢
各项均为正数的数列{an}满足a[n+1]=(a[n])^2+2a[n]*n+n^2-n-1
(1)若a[1]=1，写出a[2]，a[3]，a[4]
(2)若a[1]>=1，求证(1/(1+a[1]))+(1/(2+a[2]))+(1/(3+a[3]))+...+(1/(n+a[n]))=<1
第一问我会求...
第二问，老师给个提示a[n+1]+n+1=(a[n]+n)^2，a[n]+n>=2
然后就不会了。。。麻烦大家帮忙看一下，然后给出比较详细的解答
谢谢
由正数的数列{an}满足a[n+1]=(a[n])^2+2a[n]*n+n^2-n-1得(a[n])^2+2a[n]*n+n^2＝（a[n]+n)^2,这样就可以解释a[n+1]+n+1=(a[n]+n)^2，由a[1]>=1和上述式着可以解释a[n]+n>=2，(1/(1+a[1]))+(1/(2+a[2]))+(1/(3+a[3]))+...+(1/(n+a[n])着等于(1/＞＝2)+(1/(＞＝8)+(1/＞＝80)+...，可见(1/(1+a[1])与(1/(2+a[2])或说1/(N^2+2N)与1/（N＾2+4N+3）的关系
如此类推1-(1/(1+a[1]))+(1/(2+a[2]))+(1/(3+a[3]))+...+(1/(n+a[n])＞＝0．
我是初二的
用数学归纳法。